圆的方程：圆的定义与方程、以圆为背景的位置关系问题、弦长问题、切线问题专项训练（含解析）2026届高三数学一轮复习

圆的方程：圆的定义与方程、以圆为背景的位置关系问题、弦长问题、切线问题 专项训练 考点目录 圆的定义与方程 以圆为背景的位置关系问题 弦长问题 切线问题 例1．（25-26高二上·四川德阳·期中）以为圆心，直径为4的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为圆心为，直径为4，即半径为2， 所以该圆的标准方程为. 故选：C 例2．（25-26高二上·河北·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为关于的方程有实数解， 所以方程表示圆或点， 则，即 ， 解得或， 故选：B 例3．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知圆，、为圆上的两个动点，为圆内的一点，若，则线段中点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】 由题意得，圆的半径为3，如图，设线段的中点为，连接，，， 易得，在中，，所以， 得， 化简得， 即. 所以线段中点的轨迹方程为. 故答案为：. 例4．（25-26高二上·四川南充·期中）圆：关于直线：对称后的方程为 . 【答案】 【详解】圆：，圆心，半径， 设圆心关于直线：的对称点为， 则直线与直线垂直， ，，，， 又和的中点为，且中点在直线：上， ，联立，解得， 为所求圆的圆心，半径为， 所求圆的方程为. 故答案为：. 例5．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知直线过两点，直线过点，且与垂直. (1)求的方程； (2)若圆过三点，求圆的方程. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为过两点， 所以的方程为，即. 所以的斜率，因为，所以的斜率， 又因为过点， 所以的方程为，即. （2）因为点， 所以，则，即， 所以圆是以为直径的圆. 圆心为，半径， 所以圆的方程为. 变式1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆心坐标为，且圆与轴相切， 圆的半径等于圆心到轴的距离， 圆的方程为：，故D正确． 故选：D． 变式2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点分别为，则的外接圆方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的外接圆方程为， 因为的三个顶点分别为， 所以有， 配方得， 故选：C 变式3．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆过点，且圆心在直线，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】圆的标准方程为：， 则，解得：， 所以圆的标准方程为：， 故答案为： 变式4．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为方程表示的曲线是一个圆， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 变式5．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，动点与两个定点的距离之比为． (1)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； (2)求出动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (3)若直线与动点的轨迹交于两点，当时，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析，； (2)，是圆心为，半径为2的圆； (3)或. 【详解】（1）直线的方程化为， 由，解得， 所以直线恒过定点. （2）设，依题意，，则， 整理得，即， 所以点的轨迹方程为，是圆心为，半径为2的圆. （3）直线过点，由，得圆心到直线距离， 圆心到直线的距离为1，因此直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 于是，解得，此时直线方程为， 所以直线的方程为或. 例1．（25-26高二上·广东梅州·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】曲线，等价于，即以原点为圆心，半径为的圆的上半部分， 又直线，过定点， 直线与曲线恰有2个交点时位置关系如下， 当直线与曲线左边界相交到直线与曲线左侧相切（不含切点）的范围内恰有两个交点， 当直线与曲线左边界相交时，直线过点，此时，解得 ... ...