人教版数学（2024） 八年级下册 第二十章 勾股定理 思想方法 勾股定理中的数学思想 课件(共18张PPT)

(课件网) 满分题溯源 第二十章 勾股定理 思想方法 勾股定理中的数学思想 荣老师告诉你 勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用. 它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，把数与形统一起来，在现实世界中有着广泛的应用. 在运用勾股定理解题时，若能正确地把握数学思想，则可开阔思路，简便快捷地解决问题. 思想 数形结合思想 1 例 1 如图1，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4 km，又往北走1.5 km，遇到障碍后又往西走2 km，再转向北走到4.5 km 处往东一拐，仅走0.5 km 就 找到宝藏. 问： 登陆点A 与宝藏 埋藏点B 之间的距离是多少？ 解题秘方：过点B作BC⊥AC，构造直角三角形，通过数形结合求解. 解：如图1，过点B作BC⊥AC，垂足为C，依题 意得AC＝4－2＋0.5＝2.5(km)，BC＝4.5＋1.5＝ 6(km).在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝ ＝＝6.5(km)，即登陆 点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5 km. 思想 方程思想 2 如图2，△ABC是直角三角形，DE是AB的垂直平分线. 若AC＝4 cm，BC＝3 cm，求CE的长. 例 2 解题秘方：CE是Rt△EBC的直角边，设CE为x cm，则BE可用含x的代数式表示，由勾股定理列出关于x的方程，解之 即可. 解：设CE＝x(cm). ∵AC＝4，∴AE＝AC－CE＝4－x. ∵ DE是AB的垂直平分线， ∴ BE＝AE＝4－x. 在Rt△EBC中，∵ CE2＋BC2＝BE2，BC＝3， ∴ x2＋32＝(4－x)2，解得x＝. 因此， CE的长为cm. 思想 转化思想 3 例 3 如图3，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点 去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台 阶面爬到B 点的最短路程是 多少？ 解题秘方：求空间几何体表面的最短路程问题，通常可将几何体表面展开，把立体图形问题转化为平面图形问题. 解：如图4所示是三级台阶的部分平面展开图，其为长方形，长为20dm，宽为(2＋3)×3＝15(dm)，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理，得AB＝＝25. 因此，蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25 dm. 思想 整体思想 4 [中考·温州]我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式. 例 4 后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图5所示的长方形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该长方形的面积为(　　) A. 20 B. 24 C. D. 解题秘方：欲求长方形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在Rt△ACB 中，利用勾股定理可建立关于x 的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该长方形的面积． 解：设小正方形的边长为x， ∵ a＝3，b＝4，∴ AB＝3＋4＝7. 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即(3＋x)2＋(x＋4)2＝72， ∴ x2＋7x＝12. ∴ 长方形的面积为(3＋x)(4＋x)＝x2＋7x＋12＝12＋12＝24. 答案：B 思想 分类讨论思想 5 例 5 如图6是一块直角三角形的绿地，量得直角边BC长为6 m，AC长为8 m，现在要将原绿地扩充 成等腰三角形，且扩充的部分是以AC 为直角边的直角三角形，求扩充后的等 腰三角形绿地的周长. 解题秘方：根据题意画出图形，构造出等腰三角形，根据等腰三角形及直角三角形的性质利用勾股定理解答． 解： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理，得AB＝10. 由题意若扩充部分为Rt△ACD，则扩充后为等腰△ABD，应分以下三种情况： ①如图7 ①，当AB＝AD＝10时. ∵ AC⊥BD，∴ CD＝CB＝6. ∴△ABD的周长＝10＋10＋2×6＝32(m). ②如图7 ②，当AB＝BD＝10时. ∵ BC＝6，∴ CD＝10－6＝4. ∴AD＝＝＝4. ∴ △ABD的周长 ... ...