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课件网) 北师大（2024）版数学8年级上册 第五章 二元一次方程组 5.5三元一次方程组 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组 代入消元法、加减消元法 第 1 页：封面 标题：5.5 三元一次方程组 副标题：人教版初中数学七年级下册 制作者：XXX 背景图：三元一次方程组\(\begin{cases}x + y + z = 6\\2x - y + z = 3\\3x + y - 2z = 1\end{cases}\) + 消元转化流程图（三元→二元→一元），突出核心逻辑 第 2 页：情境导入 ——— 从二元到三元的拓展 回顾旧知： 二元一次方程组：含 2 个未知数，2 个一次方程，通过代入 / 加减消元转化为一元一次方程求解； 消元思想：减少未知数个数，化未知为已知（二元→一元）。 问题情境（购物问题拓展）： 某商店销售 A、B、C 三种文具，已知： ① 买 1 件 A、1 件 B、1 件 C 共需 6 元； ② 买 2 件 A、1 件 B、1 件 C 共需 9 元； ③ 买 3 件 A、2 件 B、1 件 C 共需 14 元。 求 A、B、C 三种文具的单价各是多少元？ 思考设问： 若设 A 单价为 x 元，B 为 y 元，C 为 z 元，需列几个方程？（3 个未知数→3 个独立方程） 如何将三元一次方程组转化为熟悉的二元一次方程组？ 课题引入：今天我们学习三元一次方程组的概念与解法，掌握 “三元→二元→一元” 的递进消元策略！ 第 3 页：探究一：三元一次方程组的定义 一、核心概念（加粗） 三元一次方程：含有3 个未知数，且含未知数的项的次数都是 1 的整式方程，叫做三元一次方程（如 x + y + z = 6）。 三元一次方程组：把具有相同未知数的三个三元一次方程（或含二元 / 一元一次方程）合在一起，就组成了三元一次方程组。 方程组的解：使三元一次方程组中各个方程左右两边都相等的三个未知数的值，叫做这个三元一次方程组的解（记作\(\begin{cases}x=a\\y=b\\z=c\end{cases}\)）。 二、定义辨析（加粗） 是三元一次方程组的有：\(\begin{cases}x + y + z = 5\\2x - y = 3\\3y + z = 4\end{cases}\)（含 3 个相同未知数，方程均为一次整式方程） 不是三元一次方程组的有： ①\(\begin{cases}x + y + z = 2\\x + y = 3\\z = 1\end{cases}\)（第二个方程未知数次数为 2）； ②\(\begin{cases}x + y = 3\\y + z = 4\\u + v = 5\end{cases}\)（未知数不同）。 三、解的特征： 三元一次方程组通常有唯一解（对应三个一次函数图象的交点）； 特殊情况：无解（无公共交点）或无数个解（三直线重合 / 共面）（类比二元方程组）。 第 4 页：探究二：三元一次方程组的解法 ——— 递进消元法 一、核心原理（加粗） 延续消元思想：通过 “代入消元” 或 “加减消元”，先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组； 再按二元一次方程组的解法，消去第二个未知数，转化为一元一次方程； 求解后反向回代，依次求出所有未知数的值。 二、转化流程图（直观呈现） 三、关键技巧： 优先消去 “系数最简单” 的未知数（如系数为 1 或 - 1 的项）； 消元时保持 “目标一致”：始终消去同一个未知数，避免混乱。 第 5 页：例题讲解（基础题型：逐步消元） 例 1：解方程组\(\begin{cases}x + y + z = 6 \\2x - y + z = 3 \\3x + y - 2z = 1 \end{cases}\) 解： 第一步：消去 y（y 的系数为 1、-1、1，易消元）； ① + ②：(x+2x)+(y-y)+(z+z)=6+3→3x + 2z = 9 ④（消去 y）； ② + ③：(2x+3x)+(-y+y)+(z-2z)=3+1→5x - z = 4 ⑤（消去 y）； 第二步：将④、⑤组成二元一次方程组：\(\begin{cases}3x + 2z = 9 \\5x - z = 4 ¤\end{cases}\)； 消去 z（⑤×2 + ④）：10x - 2z + 3x + 2z = 8 + 9→13x = 17→x=1； 第三步：回代求 z，把 x=1 代入⑤：5× ... ...
