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课件网) 北师大（2024）版数学8年级上册 第二章 实数 2.3.4 实数 1．什么是有理数？有理数怎样分类？ 2．什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？ 有理数为整数(正整数、0、负整数)和分数的统称．有理数可分为正有理数、0、负有理数 无理数的定义是无限不循环小数，带根号的数不一定是无理数，如 ，要看a的取值 情境导入 请同学们观看视频了解A4纸的奥妙 一、导入：从旧知到新知的跨越 同学们，我们之前已经认识了有理数，谁能回忆一下：有理数包括什么？（等待学生回应）对，有理数是整数和分数的统称，它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式，比如 3=3.0、1/3=0.\(\dot{3}\)。但数学世界里，是不是所有数都能这样表示呢？ 其实在公元前 5 世纪的古希腊，毕达哥拉斯学派坚信 “万物皆数”，认为所有数都能表示为整数或整数之比。直到学派成员希帕索斯发现：边长为 1 的正方形，其对角线长度既不是整数也不是分数，这个新数就是我们今天熟知的√2。这个发现动摇了学派的信仰，引发了第一次数学危机，而希帕索斯也为真理付出了沉重代价。但正是这个 “叛逆” 的发现，让我们的数系从有理数拓展到了更完整的范围 ——— 实数。 二、核心概念：什么是实数？ 1. 无理数的定义 像√2 这样的数，它的小数部分是无限且不循环的，我们把这类无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类： 开方开不尽的数，如√3、√5、-√7； π 及含 π 的式子，如 π、2π、π-1（π≈3.14159265… 是无限不循环小数）； 有特殊结构的小数，如 0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多一个 0）。 这里要注意两个误区：带根号的数不一定是无理数，比如√9=3 是有理数；无理数也不一定带根号，比如 π 就是无理数。 2. 实数的定义 有理数和无理数统称为实数。也就是说，实数家族包含了我们之前学过的所有数，无论是整数、分数，还是√2、π 这样的新数，都属于实数的范畴。 三、实数的分类：两种常见方式 我们可以从不同角度对实数进行分类，核心原则是 “不重不漏”： 1. 按定义分类 实数 { 有理数 { 整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数）} （有限小数或无限循环小数） 无理数 { 正无理数；负无理数 } （无限不循环小数） } 2. 按性质（符号）分类 实数 { 正实数 { 正有理数；正无理数 } 0 （既不是正数也不是负数，是实数中的中性数） 负实数 { 负有理数；负无理数 } } 举个例子：3（正有理数）、-√2（负无理数）、0（中性数）、π（正无理数）、-1/2（负有理数），这些都是实数家族的成员。 四、数形结合：实数与数轴的关系 我们知道，每个有理数都能在数轴上找到对应的点。那无理数呢？其实无理数也能在数轴上表示出来： 方法一：以数轴上的单位长度为边长作正方形，以原点为圆心、正方形对角线为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示√2，负半轴交点表示 -√2； 方法二：将直径为 1 的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上某点到达的位置就表示 π，向左滚动则表示 -π。 由此我们可以得出一个重要结论：实数与数轴上的点是一一对应的。这句话有两层含义：第一，每一个实数都能在数轴上找到唯一的点表示；第二，数轴上的每一个点都对应着唯一的实数。 利用这个关系，我们还能比较实数的大小：数轴上右边的点表示的实数，一定大于左边的点表示的实数。比如√2≈1.414，所以在数轴上表示√2 的点在 1 和 2 之间，且大于 1、小于 2。 五、实数的性质与运算 当数系扩充到实数后，有理数的一些性质和运算法则依然适用： 相反数、倒数、绝对值：与有理数的意义完全相同。比如√2 的相反数是 -√2，绝对值是√2；π 的倒数是 1/π；0 的绝对值还是 0。 运算规则：实数可以 ... ...
