(
课件网) 北师大（2024）版数学8年级上册 第二章 实数 2.2.1算术平方根 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 第 1 页：封面 标题：2.2.1 算术平方根 副标题：实数的基础运算（一） 配图：正方形（标注边长与面积关系）+ 根号符号 “√” 示意图 第 2 页：情境导入 ——— 从正方形面积到算术平方根 生活实例： 问题 1：一个正方形花坛的面积是 25 平方米，它的边长是多少？（答案：5 米，因为 5 =25） 问题 2：面积为 9 的正方形，边长是多少？（答案：3，因为 3 =9） 问题 3：面积为 2 的正方形，边长是多少？（答案：√2，因为 (√2) =2） 回顾旧知：在实数中，正数有两个平方根（如 25 的平方根是 5 和 - 5），0 的平方根是 0，负数没有平方根 核心疑问：上述正方形边长都是正数，我们需要给 “正数的正平方根” 一个专门的名称吗？它有怎样的定义和性质？ 第 3 页：探究活动 1——— 算术平方根的定义 一、定义推导 观察实例： 5 =25 → 5 是 25 的正平方根； 3 =9 → 3 是 9 的正平方根； (√2) =2 → √2 是 2 的正平方根； 文字表述：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x =a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根 特殊规定：0 的算术平方根是 0（因为 0 =0，且 0 是非负数） 二、符号表示 算术平方根的符号：“√”（读作 “根号”） 表示方法：a 的算术平方根记为\(\sqrt{a}\)，读作 “根号 a” 例：25 的算术平方根是 5，记作\(\sqrt{25}=5\)； 0 的算术平方根是 0，记作\(\sqrt{0}=0\)； 2 的算术平方根是√2，记作\(\sqrt{2}\)（无需化简，保留根号形式） 三、注意事项 被开方数 a 的取值范围：\(a \geq 0\)（负数没有算术平方根，因为任何实数的平方都非负）； 算术平方根的结果：\(\sqrt{a} \geq 0\)（算术平方根一定是非负数，即正数或 0）。 第 4 页：探究活动 2——— 算术平方根的性质 一、核心性质（结合实例验证） 非负性：\(\sqrt{a} \geq 0\)（a≥0），算术平方根的结果一定是非负数 例：\(\sqrt{4}=2>0\)，\(\sqrt{0}=0\)，\(\sqrt{7} 2.645>0\) 平方与开方的互逆性： 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身：\((\sqrt{a})^2 = a\)（a≥0） 例：\((\sqrt{3})^2 = 3\)，\((\sqrt{0})^2 = 0\)，\((\sqrt{1.5})^2 = 1.5\) 一个非负数的平方的算术平方根等于它本身：\(\sqrt{a^2} = a\)（a≥0） 例：\(\sqrt{5^2} = 5\)，\(\sqrt{0^2} = 0\)，\(\sqrt{(\sqrt{2})^2} = \sqrt{2}\) 二、性质辨析（课堂互动） 判断下列等式是否成立，说明理由： （1）\((\sqrt{-3})^2 = -3\)（不成立，-3 没有算术平方根）； （2）\(\sqrt{(-4)^2} = -4\)（不成立，算术平方根是非负数，结果应为 4）； （3）\(\sqrt{6^2} = 6\)（成立，符合\(\sqrt{a^2}=a\)（a≥0））。 第 5 页：基础计算 ——— 求一个数的算术平方根 类型 1：完全平方数的算术平方根（结果为有理数） 例 1：求下列各数的算术平方根： （1）16：解：∵4 =16，∴\(\sqrt{16}=4\)； （2）81/25：解：∵(9/5) =81/25，∴\(\sqrt{81/25}=9/5\)； （3）0.09：解：∵0.3 =0.09，∴\(\sqrt{0.09}=0.3\)； （4）0：解：\(\sqrt{0}=0\)。 类型 2：非完全平方数的算术平方根（结果为无理数，保留根号或取近似值） 例 2：求下列各数的算术平方根： （1）7：解：\(\sqrt{7}\)（无理数，保留根号）； （2）10：解：\(\sqrt{10} 3.16\)（取近似值，精确到 0.01）； （3）2.5：解：\(\sqrt{2.5}=\sqrt{5/2}=\sqrt{10}/2 1.58\)（化简后取近似值）。 关键步骤： 确定被开方数 a ... ...
