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课件网) 北师大（2024）版数学8年级上册 第一章 勾股定理 1.3勾股定理的应用 1．勾股定理的内容是什么？ 2．勾股定理的逆定理的内容是什么？ 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 第 1 页：封面 标题：1.3 勾股定理的应用 副标题：从数学到生活的实践 配图：梯子靠墙、折叠矩形、航海路线等实际场景示意图 第 2 页：情境导入 ——— 生活中的直角三角形 问题串： 装修时，工人用梯子靠在墙上，如何判断梯子顶端能到的高度？ 折叠长方形纸片，如何求折痕的长度？ 轮船航行时，如何计算两艘船之间的最短距离？ 核心思路：这些问题都可转化为 “直角三角形边长计算”，用勾股定理（\( a^2 + b^2 = c^2 \)）或其变式（\( a = \sqrt{c^2 - b^2} \)）求解 学习目标： 能将实际问题转化为直角三角形模型； 熟练运用勾股定理解决长度、距离问题。 第 3 页：基础应用 ——— 直角三角形的边长计算 类型 1：已知两直角边，求斜边 例 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=5，b=12，求斜边 c 的长度。 解：由勾股定理得 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \) 类型 2：已知斜边和一直角边，求另一直角边 例 2：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，c=10，a=6，求直角边 b 的长度。 解：由勾股定理变式得 \( b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \) 关键步骤： 确定直角三角形的直角边和斜边； 代入勾股定理或其变式计算； 结果需符合实际意义（边长为正数）。 第 4 页：实际应用 1——— 立体图形表面最短路径 场景：长方体表面爬行问题 例 3：如图，长方体礼盒长 12cm、宽 8cm、高 6cm，一只蚂蚁从顶点 A 爬到顶点 B（相对顶点），求最短爬行距离。 分析： 立体图形表面最短路径→展开为平面图形，转化为直角三角形斜边问题； 长方体展开有 3 种不同方式，需分别计算再比较： 展开前面和上面：直角边 = 12+8=20cm，高 = 6cm，距离 \( \sqrt{20^2 + 6^2} = \sqrt{436} 20.9cm \) 展开前面和右面：直角边 = 12+6=18cm，宽 = 8cm，距离 \( \sqrt{18^2 + 8^2} = \sqrt{428} 20.7cm \) 展开左面和上面：直角边 = 8+6=14cm，长 = 12cm，距离 \( \sqrt{14^2 + 12^2} = \sqrt{340} 18.4cm \) 结论：最短爬行距离约为 18.4cm（第 3 种展开方式） 配图：长方体展开图（标注三种展开方式及直角边长度） 第 5 页：实际应用 2——— 折叠问题 场景：矩形折叠求长度 例 4：如图，长方形纸片 ABCD，长 AB=10cm，宽 BC=6cm，将纸片沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边的 D' 处，求 CE 的长度。 解题步骤： 设 CE=x cm，则 DE=D'E=(6 - x) cm（折叠后对应边相等）； 由 AB=10cm，AD=BC=6cm，得 BD'=BC - CD'=10 - CD'，且 AD'=AD=6cm（折叠后对应边相等）； 在 Rt△ABD' 中，由勾股定理得 \( BD' = \sqrt{AD'^2 - AB^2} \)？ 修正：Rt△ABD' 中，AB=10cm，AD'=6cm，∠B=90°，故 \( BD' = \sqrt{AD'^2 - AB^2} \) 错误，应为 \( AD'^2 = AB^2 + BD'^2 \)？ 重新梳理： 正确逻辑：AD'=AD=6cm，AB=10cm，∠B=90°，则 \( BD' = \sqrt{AD'^2 - AB^2} \) 无意义（6＜10），修正图形：折叠后 D 落在 BC 上，故 AD'=AD=6cm，AB=10cm，应为 Rt△ABD' 中，∠B=90°，AD' 为斜边，所以 \( BD' = \sqrt{AD'^2 - AB^2} \) 错误，正确应为 \( AD'^2 = AB^2 + BD'^2 \) 不成立，实际应为：矩形 ABCD 中，AB=CD=10cm，AD=BC=6cm，折叠后 D 到 D'，则 AD=AD'=6cm，在 Rt△ABD' 中，AB=10cm，AD'=6cm，BD'=\( \sqrt{AD'^2 - AB^2} \) 无解，修正例 4 数据：长 AB=8cm，宽 BC=6cm： 修正后：AB=8cm，AD=6cm，折叠后 AD'=6cm，Rt△ABD' ... ...
