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课件网) 北师大（2024）版数学8年级上册 第一章 勾股定理 1.2 一定是直角三角形吗 第 1 页：封面 标题：1.2 一定是直角三角形吗 副标题：勾股定理的逆定理 配图：直角三角形与非直角三角形对比图（标注三边长度）+ 问号图标 第 2 页：情境导入 ——— 从已知到未知的疑问 回顾旧知：勾股定理（正定理）——— 直角三角形→两直角边的平方和等于斜边的平方（形→数） 反向思考： 若一个三角形的三边满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，它一定是直角三角形吗？（数→形） 举例：三边长为 3、4、5 的三角形，满足 \( 3^2 + 4^2 = 5^2 \)，它是直角三角形吗？ 生活情境：木工师傅用 “3-4-5” 木条定直角：在木板上截取 3cm、4cm、5cm 的线段围成三角形，判断其中一个角是否为直角，这是为什么？ 第 3 页：探究活动 1——— 验证特殊三边的三角形 操作任务：小组合作，用硬纸板剪出以下三组长度的线段，拼成三角形，测量最大角的度数 三边长度（a≤b≤c） \( a^2 + b^2 \) \( c^2 \) \( a^2 + b^2 \)与\( c^2 \)的关系 最大角的度数 三角形类型一、已知 在△ABC 中，三边满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)（c 为最长边） 二、求证 △ABC 是直角三角形（∠C=90°） 三、证明步骤（构造法） 构造辅助三角形：作 Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，A'C'=b，B'C'=a； 应用勾股定理：在 Rt△A'B'C' 中，由正定理得 \( A'B'^2 = A'C'^2 + B'C'^2 = a^2 + b^2 \)； 等量代换：已知 \( c^2 = a^2 + b^2 \)，因此 \( A'B' = c \)； 全等判定：△ABC ≌ △A'B'C'（SSS：AB=A'B'=c，AC=A'C'=b，BC=B'C'=a）； 对应角相等：∠C=∠C'=90°，故△ABC 是直角三角形。 四、配图 辅助三角形构造图（标注 a、b、c 边长及直角符号） 第 5 页：定理总结 ——— 勾股定理的逆定理 文字表述：如果一个三角形的三边长 a、b、c（c 为最长边）满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，那么这个三角形是直角三角形（又称 “勾股逆定理”） 符号语言：在△ABC 中，若 \( a^2 + b^2 = c^2 \)（c 为最长边），则△ABC 是 Rt△，且∠C=90° 核心价值： 提供了 “由三边关系判断三角形形状” 的方法（数→形）； 是勾股定理的逆命题，且为真命题，二者构成互逆定理； 注意事项：必须强调 “c 为最长边”，否则结论不成立（例：a=2，b=3，c=4，虽\( 2^2 + 3^2 4^2 \)，但需先确定最长边） 第 6 页：拓展概念 ——— 勾股数 定义：满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \) 的正整数组（a、b、c）称为勾股数（又称毕达哥拉斯数） 常见勾股数： 基础组：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17 衍生组：将基础勾股数同时乘正整数（例：3×2=6，4×2=8，5×2=10，6,8,10 也是勾股数） 应用：勾股数可快速判断三角形是否为直角三角形（例：三边为 9,12,15，因 9=3×3，12=3×4，15=3×5，是勾股数，故为直角三角形） 第 7 页：应用示例 ——— 基础与实际 基础题： 判断：三边为 6,8,10 的三角形是直角三角形吗？（解：\( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 \)，是） 判断：三边为 7,8,9 的三角形是直角三角形吗？（解：\( 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113 81 = 9^2 \)，不是） 实际题： 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上，一艘船从 P 出发，向东北方向航行 20√2 海里到达 Q，再向西北方向航行 20 海里到达 R，若 R 到海岸线的距离为 20 海里，判断△PQR 的形状（解：PQ=20√2，QR=20，PR=20，\( 20^2 + 20^2 = (20 2)^2 \)，故为直角三角形） 第 8 页：逆定理与正定理的对比 定理 条件（已知） 结论（求证） 应用方向 勾股定理（正定理） 三角形是直角三角形 两直角边的平方和 = 斜边的平方 形→数（算边长） 勾股定理的逆定理 三角形三边满足\( a^2 + b^2 = ... ...
