(课件网) 第 15 章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 等腰三角形 课时2 等腰三角形中的“三线合一” 1.理解等腰三角形中的“三线合一”的概念和验证定理的过程. 2.能利用等腰三角形的推论来解决问题. 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗 ∠ADB = ∠ADC = 90°， ∠BAD =∠CAD. 一、等腰三角形的性质定理2 思考：由前面定理1的证明还能得到什么结论？ A C D B 猜想：等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角. 1. 如果作 BC 边上的高线 AD，那么 AD 平分 BC 吗？AD 平分 ∠BAC 吗 思考 如图，在△ABC中，AB = AC. 证明：作底边 BC 的高 AD，交 BC 于点 D. ∵ AD⊥BC， ∴∠ADB ＝∠ADC＝90°. 在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中， AB＝AC（已知）， AD＝AD（公共边）， ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）. ∴ BD＝CD，∠BAD ＝∠CAD. A B C D 2.如果作∠ABC 的顶角平分线 AD，那么 AD 垂直平分 BC 吗 A C D B 证明：作顶角∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D. ∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠BAD＝∠CAD. 在△ABD 与△ACD 中， AB＝AC（已知）， ∠BAD＝∠CAD（已证）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD≌△ACD（SAS）， ∴ BD＝CD，∠ADB＝∠ADC. 又∵∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. A C B 证明后的结论，以后可以直接运用. 定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合. 简称“三线合一”. A B C D ( ( 1 2 填一填：根据等腰三角形的性质定理完成下列填空. 在△ABC 中，AB = AC. (1) ∵ AD⊥BC， ∴∠____=∠____，_____=_____. (2) ∵ AD 是中线， ∴ ____⊥____，∠____ =∠____. (3) ∵ AD 是角平分线， ∴ ____⊥____，____ =____. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BC AD CD 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 不重合！ 三线合一 为什么不一样 1. 等腰三角形的顶角一定是锐角. 2. 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角. 3. 钝角三角形不可能是等腰三角形. 4. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边. 5. 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6. 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. （ X ） （ X ） （ X ） （ X ） （ √ ） （ √ ） 判断下列说法正误： 例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC. (1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE； (2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证：AF⊥BC. 图① 图② A B D E C A B D E C F 证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G. ∵ AB＝AC，AD＝AE， ∴ BG＝CG，DG＝EG. ∴ BG－DG＝CG－EG. ∴ BD＝CE. (2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点， ∴ BD＋DF＝CE＋EF. ∴ BF＝CF. ∵ AB＝AC， ∴ AF⊥BC. 图① A B D G E C 图② A B D E C F 方法总结：在等腰三角形的有关计算或说明理由的问题中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． 例2 如图，在△ABC中，AB =AC，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 上一点，求证：BE = CE. 证明 ∵ AB = AC，AD 是边 BC 上的中线，(已知) ∴ AD 是 BC 边上的高.(三线合一) ∴ AD 垂直平分线段 BC . （垂直平分线的定义） ∵ 点 E 是 AD 上一点（已知） ∴ BE = CE.（垂直平分线的性质） 例3 求证：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等． 已知，如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C =∠C' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C' 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. A' A B C C' B' 本例是14.2中以学过的判定两个直角三角形全等的定理“HL”的证明 证明：在平面内移动 Rt△ABC 和 R ... ...
