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课件网) 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 15.3 角的平分线 15.3.2 角平分线的应用 1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理. 2.能利用角平分线定理及其逆定理解决几何图形中的问题. 学习目标 任务一：探索并证明角平分线的性质定理及其逆定理. 结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. P A O B C D E (1)通过以上测量，你得到什么结论？在OC上再取 几个点试一试. (2)你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？ 活动1：如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较. 活动探究 如图，∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 验证结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2.应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD= PE. PD⊥OA，PE⊥OB， B A D O P E C 活动小结 1.应用该定理所具备的条件： （1）角的平分线； 推理的理由有三个， 必须写完全，不能少了任何一个. （2）点在该平分线上；（3）垂直距离. 猜想:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 活动2：写出上面角平分线性质定理的逆命题.这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明. 角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP， B A D O P E 证明猜想： 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 书写格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 活动小结 B A D O P E 练一练 如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等． （要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）. 解：作∠AOB的平分线交MN于点P，则点P满足条件. O B A N M P 任务二：利用角平分线定理及其逆定理解决几何图形中的问题. 活动：先独立思考，再分组讨论，用刚刚所学的知识解决下列问题. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， D E F A B C P N M ∴PD=PE，同理PE=PF, ∴PD=PE=PF， 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 问题1：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 问题2：点P在∠A的角平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 很明显，点P在∠A的角平分线上. D E F A B C P N M 小结：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等. 练一练 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A=70°，则∠BOC的度数为( ) A．35° B．125° C．55° D．135° B 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AD=3CD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 C 当堂检测 证明：∵DE⊥AB于E，∠C=90°， AD是△ABC的角平分线，∴CD=DE， ∴△ACD≌△BED(SAS)， ∴AD=BD. 2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，AC=BE．求证：AD=BD. CD=DE， ∠C ... ...
