3.2.2 双曲线的简单几何性质 闯关练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）

中小学教育资源及组卷应用平台 3.2.2 双曲线的简单几何性质 闯关练 2025-2026学年 高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019） 一、单选题 1．中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 3．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为 A． B． C． D． 4．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截 得的弦长为2，则的离心率为 A．2 B． C． D． 5．设双曲线C:的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 A．2 B． C． D．4 6．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 二、多选题 7．（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值为 8．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．当n过时，光由所经过的路程为13 C．射线n所在直线的斜率为k，则 D．若，直线PT与C相切，则 9．双曲线的标准方程为，则下列说法正确的是（ ） A．该曲线两顶点的距离为 B．该曲线与双曲线有相同的渐近线 C．该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1 D．该曲线与直线：，有且仅有一个公共点 三、填空题 10．记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 11．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ． 12．设 分别是双曲线(，)的左 右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则 . 13．已知双曲线中心在原点O且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 ，此时△的面积为 ． 14．已知双曲线C的方程为，过原点O的直线l与双曲线C相交于A、B两点，点F为双曲线C的左焦点，且，则的面积为 ． 四、解答题 15．已知双曲线，，是其两个焦点，点M在双曲线上. (1)若，求的面积； (2)若，则面积是多少？ (3)观察以上计算结果，你能看出随的变化，的面积将怎样变化吗？试证明你的结论. 16．已知双曲线的方程为． （1）求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程． （2）过点能否作直线l，使直线l与所给双曲线交于，两点，且点B是弦的中点？如果直线l存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 17．已知双曲线过点，且离心率 (1)求该双曲线的标准方程： (2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 18．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由． 19．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A D C A B B BD CD CD 1．A 【分析】先求出焦点坐标，再根据等轴双曲线求出实半轴长，从而可求题设中的方程. 【详解】设双曲线方程为：，半焦距为. 在直线中，令，得， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为，∴， ... ...