16.3.2 完全平方公式 课件（共35张PPT）-人教版（2024）数学八年级上册

(课件网) 人教版（2024）版数学8年级上册 第16章 整式的乘法 16.3.2 完全平方公式 相等 一块边长为 a 米的正方形农田，将其边长增加 b 米，形成四块农田，以种植不同的品种（如图）. 你能用几种方式表示农田的总面积？ a b b a 直接求：总面积 = 间接求：总面积 = ab b2 a2 ab (a + b)2 a2 + 2ab + b2 16.3.2 完全平方公式 16.3.2 完全平方公式 乘法公式的重要组成 ——— 人教版八年级数学上册 ——— 一、复习回顾：衔接前置知识 1. 核心公式回顾 平方差公式 (a + b)(a - b) = a - b 特征：和×差，结果为平方差 示例：(2x + 3)(2x - 3) = 4x - 9 多项式×多项式法则 逐项相乘，积相加，再合并 示例：(x + 2)(x + 3) = x + 5x + 6 2. 快速计算（观察规律） - ① (x + 3) = (x + 3)(x + 3) = _____ - ② (x - 2) = (x - 2)(x - 2) = _____ - ③ (2a + b) = (2a + b)(2a + b) = _____ - ④ (3m - 2n) = (3m - 2n)(3m - 2n) = _____ 思考：上述算式都是“相同二项式相乘”，结果有什么共同特点？能否找到简便计算方法？ 二、情境导入：感知公式应用价值 问题1：校园要新建一个边长为(a + b)的正方形花坛，为了规划材料用量，需要计算花坛的面积，该如何表示？ 问题2：若花坛边长调整为(a - b)，面积又该如何表示？这两个面积表达式展开后有什么规律？ 边长：a + b a b b 正方形花坛示意图 三、探究活动：推导完全平方公式 步骤1：代数推导———从多项式乘法出发 （1）推导(a + b) (a + b) = (a + b)(a + b) （平方的意义） = a·a + a·b + b·a + b·b （逐项相乘） = a + ab + ab + b （计算单项式乘积） = a + 2ab + b （合并同类项） （2）推导(a - b) (a - b) = (a - b)(a - b) （平方的意义） = a·a + a·(-b) + (-b)·a + (-b)·(-b) （逐项相乘） = a - ab - ab + b （计算单项式乘积） = a - 2ab + b （合并同类项） 步骤2：几何验证———从面积组成理解 边长为(a + b)的正方形面积，可分割为： ① 边长为a的正方形：面积a ； ② 边长为b的正方形：面积b ； ③ 两个长a、宽b的长方形：面积各ab； 总面积：a + 2ab + b ，即(a + b) = a + 2ab + b 。 (a + b) 面积分割图 步骤3：总结公式结构特征 观察两个公式，思考共同特征： - 左边：二项式的平方（两个相同二项式相乘）； - 右边：三项式，由“首项平方、尾项平方、两倍首尾乘积”组成； - 符号规律：(a + b) 中间为正，(a - b) 中间为负（即“和平方加，差平方减”）。 四、法则总结：完全平方公式 完全平方公式 (a + b) = a + 2ab + b (a - b) = a - 2ab + b 文字表述：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的2倍。 口诀：首平方，尾平方，两倍首尾放中央，和平方加，差平方减 公式中的“a”和“b”的含义： - ① “a”和“b”可以是数字、字母（如a=5，b=3；a=m，b=n）； - ② “a”和“b”也可以是单项式或多项式（如a=3x，b=2；a=(x - y)，b=z）； - ③ 关键是找准“首项”和“尾项”，无论位置如何，核心是“两个数的和或差”。 五、基础应用：分类型例题解析 类型1：数字与字母的简单应用 例1：计算(2x + 3) 分析：首项为2x，尾项为3，和平方中间用“+” 解：(2x + 3) = (2x) + 2×2x×3 + 3 = 4x + 12x + 9 类型2：含负号的应用 例2：计算(4x - 5y) 分析：首项为4x，尾项为5y，差平方中间用“-” 解：(4x - 5y) = (4x) - 2×4x×5y + (5y) = 16x - 40xy + 25y 类型3：单项式作为“a”或“b” 例3：计算(-3a + b) 分析：可转化为(b - 3a ) ，首项b，尾项3a ，差平方中间用“-” 解：(-3a + b) = b - 2×b×3a + (3a ) = b - 6a b + 9a 类型4：多项式作 ... ...