24.5 三角形的内切圆 1.使学生理解并掌握三角形的内切圆、圆外切三角形、三角形的内心的概念. 2.掌握三角形内切圆的作法，理解三角形内心的性质. 【教学重点】 三角形内切圆的作法，三角形的内心及其性质. 【教学难点】 三角形与圆的位置关系中的内与外、接与切概念的理解和运用. 【教学方法】 1.讲授法. 2.多媒体辅助. 【课时安排】 一个课时 1.角平分线的性质定理及其逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 2.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆. 3.三角形的外心：外接圆的圆心叫做三角形的外心. 4.三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 5.三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部. 知识点一 三角形的内切圆 1.三角形的内切圆 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形. 2.三角形的内心 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角平分线的交点. 特别提示：（1）在讨论多边形与圆的位置关系时，三角形或多边形各顶点都在圆上叫做“接”，三角形或多边形各边都与圆相切叫做“切”. （2）任意一个圆都有无数个内接三角形和无数个外切三角形；任意一个三角形都有且只有一个内切圆和一个外接圆. 【例1】 给出下列命题：①任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形.其中正确的命题有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【解析】三角形的外接圆是三条边垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，故①正确；圆的内接三角形可以有无数多个，故②错误；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点， 任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，故③正确；圆的外切三角形可以有无数多个，故④错误.正确的命题有2个. 【答案】B 【迷津指点】解题的关键是明确三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点. 知识点二 三角形的内心的性质 1.三角形的内心的性质 （1）三角形的内心到三角形的三边距离相等. （2）三角形的内心与三角形角的顶点的连线平分对应的角. 如图，若 的内切圆 与，， 分别相切于点，，，则① ，② ， ， . 2.三角形的内心、外心的关系 名称 实质 图形 主要性质 位置 注意 三角形的内心 三角形三条角平分线的交点 （1）三角形的内心到三边的距离相等；（2）（拓展） 三角形的内心在三角形内部 等边三角形的内心、外心重合 三角形的外心 三角形三条边的垂直平分线的交点 （1）三角形的外心到三个顶点的距离相等； （2）（拓 展） 或 锐角三角形的外心在三角形内部 直角三角形的外心是斜边的中点 钝角三角形的外心在三角形外部 【例2】 如图所示，点 是 的内心.若 ，则 等于( ) A. B. C. D. 【解析】 点 是 的内心，， .， ， . 【答案】C 【例】如图所示，已知点 是 的内心， 的延长线交 于点，且与 的外接圆相交于点 . 求证： ； （2） 若 , .求 的长. 【解析】（1）由点 是 的内心，同弧所对的圆周角相等，易证得；（2）由 ，，易知 ,由 ，得 ，可以通过证明 求出 的长. 【解】（1）证明： 点 是 的内心， ， . ，，， . （2） ， ， . ， ， . ， ， ， ， . ， ， . 【迷津指点】本题考查了三角形的外接圆与内心，同时考查了相似三角形的性质和判定，注意性质的正确运用. 见课 ... ...
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