3.4 圆周角和圆心角的关系 课件 2025-2056 北师大版 九年级下册(15张PPT)

(课件网) 3.4 圆周角和圆心角的关系 复习问题 1.圆心角的定义？（顶点在圆心的角） 圆周角定义：圆心角的度数与所对弧的度数关系？ 设计意图：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系定理？ 1.指出下图中的圆心角和圆周角。 圆心角：∠AOB、∠AOC、∠BOC 圆周角：∠BAC、∠ABC、∠ACB 方法总结： 找圆心角看半径（两条半径夹角）。 找圆周角看弦与圆的交点（两弦夹角）。 注意 ：弦与半径未延长时需特殊说明。 设计意图：巩固定义，培养有序分类的识图能力。 圆周角的识别练习 实际情境：球员在B、D、E处射门时，∠ABC、∠ADC、∠AEC的大小关系？ 类比猜想：同弧所对的圆心角相等 → 同弧所对的圆周角是否相等？ 探究方向：先研究一条弧所对的圆周角与圆心角的关系。 设计意图：以生活实例激发兴趣，引出核心探究问题 圆周角定理的探究———问题情境 活动：画出弧AB所对的圆周角，观察这些角的关系。 猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 符号语言：∠ACB = =∠AOB 设计意图：通过画图测量，初步形成定理猜想。 动手操作，提出猜想 已知：如图，∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是圆心角。 证明： ∵ OA = OC，∴ ∠A = ∠C。 ∵ ∠AOB是△AOC的外角，∴ ∠AOB = ∠A + ∠C = 2∠C。 ∴ ∠ACB = =∠AOB。 设计意图：从特殊位置入手，简化证明过程。 定理证明———情况1（圆心在边上） 方法：作直径CD，将问题转化为情况1。 证明： ∠ACD = =∠AOD，∠BCD = ∠BOD。 ∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = (∠AOD + ∠BOD) = ∠AOB。 设计意图：渗透“化归”思想，将一般情况转化为特殊情况。 定理证明———情况2（圆心在内部） 方法：同样作直径CD，利用角的和差关系。 证明： ∠ACD = ∠AOD，∠BCD = ∠BOD。 ∠ACB = ∠ACD - ∠BCD = (∠AOD - ∠BOD) = ∠AOB。 结论：三种情况均证明∠ACB = ∠AOB。 设计意图：完整呈现分类讨论过程，强化逻辑严谨性。 定理证明———情况3（圆心在外部） 回顾问题：射门问题中，∠ABC、∠ADC、∠AEC的关系？ 推理： ∵ ∠ABC = ∠AOC，∠ADC = ∠AOC，∠AEC = ∠AOC， ∴ ∠ABC = ∠ADC = ∠AEC。 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。 设计意图：回归实际问题，推导出重要推论 圆周角定理的推论 找相等角：图中与∠BAC相等的角有哪些？ 推理计算：如图，OA、OB、OC是半径，∠AOB=2∠BOC，问∠ACB与∠BAC的关系？ 设计意图：通过基础题型巩固定理应用。 定理应用———基础练习 电影院设计：为什么座位排列呈弧形？（保证同排观众视角一致） 航海问题：如图，∠α为船与灯塔的夹角，∠ACB为危险角，当船在安全区域时，∠α与∠ACB的大小关系？ 设计意图：联系实际，提升数学建模能力 定理应用———实际应用题 1.如图，AB∥CD，∠ABC=40°，则∠BOD = （ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 80° 2.如图，∠AOB=50°，则∠ACB = _____°。 当堂检测 3.如图，A、B、C在⊙O上，∠CAO=25°，∠BCO=35°，则∠AOB = _____°。 4.如图，A、B、C、D在⊙O上，∠BCD=100°，求∠BOD和∠BAD的度数。 当堂检测 知识总结： 圆周角定义：顶点在圆上，两边与圆相交。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。 思想方法： 分类讨论、类比、特殊到一般、化归。 设计意图：系统梳理内容，强化知识结构与思想方法。 课堂小结 同学们，再见 ... ...