3.3 垂径定理 同步训练 一、单选题 1．如图，的半径为5，弦，点C是的中点，连接，则的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，，若，，则的半径是（ ） A．3 B． C． D．4 3．如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，的半径是4，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（ ） A． B． C．5 D．10 5．如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（ ） A． B．4 C． D．8 6．游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（ ） A． B． C． D． 7．已知的半径为10，弦和弦垂直于同一条直径：，，则与之间的距离（ ） A．2或14 B．6或8 C．6或10 D．12或16 二、填空题 8．如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为C，下列结论： ①，②，③，④上述结论中，正确的有 （填序号） 9．图1是某化学实验室的一个装有液体的圆底烧瓶，其底部球形的截面示意图如图2所示，液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为 10．流沙钥匙扣挂件多受女孩喜欢（如图左图）．如图右图是它的坠体截面示意图，嘉嘉用直尺测量了圆的半径为，流沙所在的水平面长，则圆心到的距离为 ． 11．已知在中，半径，、是两条平行弦，且，，则弦的长为 ． 12．图是某游乐园的摩天轮，，两位同学坐在摩天轮上的示意图如图，摩天轮半径为米，两同学的直线距离为米，当同学旋转到最高位置，此时两位同学的高度差为 米． 三、解答题 13．如图是一个蔬菜大棚的横截面，它的“拱顶”部分是以点为圆心的圆的一部分，已知的半径为，横梁的长为，点为的中点，连接交于点． (1)求拱高的长； (2)若要在离蔬菜大棚中心处安装一支撑柱，且支撑柱垂直于横梁，求支撑柱的长． 14．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某地古典园林的一个圆弧形门洞，已知门洞所在圆的圆心为点，地面入口弦． (1)请在图中画出线段，用其长度表示门洞的最高点到地面的距离； (2)若（1）中所画的，求该门洞（）的半径． 15．如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 16．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，在制作过程中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”．如图①为其示意图，制壶艺人王师傅把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．如图②，O为紫砂壶的壶口，通过测量得知，，若这批紫砂壶的制作要求壶口直径不超过，请你通过计算判断王师傅制作的该紫砂壶是否符合要求． 《3.3 垂径定理 同步训练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册》参考答案 1．C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理的推论，勾股定理即可求得的长． 【详解】解：∵点C是的中点， ∴， ∵弦， ∴， ∵的半径为5， 在中，由勾股定理得，． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理；能熟练利用垂径定理，勾股定理进行求解是解题的关键．过圆心作交于点，交于点，连接、，由垂径定理得，由圆的基本性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：过圆心作交于点，交于点，连接、， ， ， ， ， ， ， ， 设半径为，则， ， ， ， 解得， 故的半径是， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵ ... ...
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