21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步训练 （含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 一、单选题 1．若，是方程的两个根，则（） A． B． C． D． 2．下列一元二次方程中，两个实数根的和为1的方程是（ ） A． B． C． D． 3．已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A．3 B． C．2 D． 5．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．对于一元二次方程（为常数，且），给出下列说法：①，则方程必有一个根为1；②当时，方程至少有一个根为0；③若方程的两个根为，2，则必有成立；④若，则方程一定有两个相等的实数根．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．若一元二次方程有一个根是1，则另一个根是 ． 9．已知一元二次方程的两根为，则 ． 10．已知和是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 11．若实数a、b分别满足，，且，则的值为 ． 12．关于的方程的解分别为，则的值为 ． 三、解答题 13．若、是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1) (2) (3) (4) 14．已知关于的方程， (1)求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为1，求其另一根． 15．已知关于的方程有两个不等实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两根为，且，求的值． 16．请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为，这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程的一般形式为：_____； (2)已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程的一般形式为：_____； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，求一元二次方程的两根． 参考答案 1．B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，． 只有选项B正确． 故选B． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，对于方程 ，两根之和为．计算各选项的该值，判断是否等于1． 【详解】解：A．，，； B．，，； C．，，； D．，，； 只有D选项的两根之和为1． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接用公式求解即可． 【详解】∵方程 中，，， ∴ 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据题意，得到：，，代入求值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； 故选：C． 5．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵ m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系是解题的关键． 利用一元二次方程的解及根与系数关系解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 把代入可得：，即， ∴， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、根与系数的关系以及判别式的应用；①和②通过代入验证；③利用两根和与积的关系推导；④通过判别式判断根的情况即可． 【详解】解：①∵， ∴当时，， ∴方程必有一根为；故①正确； ②当时，方程变为， 即， ∴或， ... ...