11.3.2两数和（差）的平方-课件(共24张PPT)-数学华东师大版（2024）八年级上册

(课件网) 华东师大版（2024）版数学8年级上册 第11章 整式的乘除 11.3.2两数和（差）的平方 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释并能够灵活应用. 2.理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式. “11.3.1两数和乘以这两数的差”核心是平方差公式的学习，下面以幻灯片形式呈现教学内容，涵盖公式推导、例题解析、易错点等，适配课堂教学： # 幻灯片分页内容：11.3.1两数和乘以这两数的差 ## 第1页：课题引入———旧知铺垫引新知 - 复习回顾： 1. 多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即\((m + n)(p + q)=mp + mq + np + qn\)； 2. 快速计算：\((x + 3)(x - 3)\)、\((2a + b)(2a - b)\)，观察结果有何特殊规律？ - 情境问题： 边长为\(a\)的正方形草坪，一角剪去边长为\(b\)的小正方形（\(a > b\)），剩余部分面积怎么算？除了用大正方形面积减小小正方形面积，还有其他计算方式吗？ - 课题：今天我们就来探究这种特殊的多项式乘法———11.3.1两数和乘以这两数的差。 ## 第2页：公式推导———代数与几何双验证 - 代数推导（依据多项式乘法法则）： 计算\((a + b)(a - b)\)，按法则展开得\(a×a - a×b + b×a - b×b\)；中间两项\(-ab\)与\(+ab\)互为相反数，合并后消去，最终结果为\(a^2 - b^2\)。 - 几何验证（面积法）： 1. 方法一：剩余图形面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积，即\(a^2 - b^2\)； 2. 方法二：将剩余图形拼接成长为\((a + b)\)、宽为\((a - b)\)的长方形，面积为\((a + b)(a - b)\)； 3. 结论：两种方法表示同一图形面积，故\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)。 - 公式总结：**两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差**，该公式称为平方差公式。 ## 第3页：公式特征———找准关键辨结构 - 核心特征： 1. 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（如公式中的\(a\)），另一项互为相反数（如公式中的\(b\)和\(-b\)）； 2. 右边：相同项的平方减去互为相反数项的平方，且顺序不可颠倒； 3. 字母含义：\(a\)、\(b\)可表示具体数字、单项式，也可表示多项式。 - 特征辨析： 1. 符合特征：\((5x + 2y)(5x - 2y)\)（相同项\(5x\)，相反项\(2y\)与\(-2y\)）； 2. 不符合特征：\((x + 2)(x + 3)\)（两项均不互为相反数）。 ## 第4页：基础例题———公式直接应用 - 解题思路：先找准相同项和相反项，再代入平方差公式计算，注意符号和幂的运算。 - 基础例题解析： 1. 例1：计算\((m + 5)(m - 5)\) 解：相同项为\(m\)，相反项为\(5\)与\(-5\)，原式\(=m^2 - 5^2 = m^2 - 25\)； 2. 例2：计算\((3x - 2y)(3x + 2y)\) 解：相同项为\(3x\)，相反项为\(-2y\)与\(2y\)，原式\(=(3x)^2 - (2y)^2 = 9x^2 - 4y^2\)； 3. 例3：计算\((-1 + 4c)(-1 - 4c)\) 解：相同项为\(-1\)，相反项为\(4c\)与\(-4c\)，原式\(=(-1)^2 - (4c)^2 = 1 - 16c^2\)。 ## 第5页：进阶例题———公式灵活变形 - 解题关键：当式子结构不直接符合公式时，先通过变形转化出相同项和相反项，再用公式计算。 - 进阶例题解析： 1. 例1：计算\((2x - y)(-2x - y)\) 解：变形为\((-y + 2x)(-y - 2x)\)，相同项为\(-y\)，相反项为\(2x\)与\(-2x\)，原式\(=(-y)^2 - (2x)^2 = y^2 - 4x^2\)； 2. 例2：计算\(199×201\) 解：将其转化为两数和与差的形式，\(199 = 200 - 1\)，\(201 = 200 + 1\)，原式\((200 - 1)(200 + 1)=200^2 - 1^2 = 40000 - 1 = 39999\)； 3. 例3：计算\((a + b + c)(a + b - c)\) 解：把\((a + b)\)看作整体，原式\(=[(a + b) + c][(a + b) - c]=(a + b)^2 - c^2 = a^2 + 2ab + b^2 - c^2\) ... ...