2025年广东省广州市越秀区执信中学自主招生数学试卷(含答案)

2025年广东省广州市越秀区执信中学自主招生数学试卷 一、填空题：本题共15小题，每小题3分，共45分。 1.= . 2.如图，有一圆形纸片圆心为O，直径AB的长为2，BC∥AD，将纸片沿BC、AD折叠，交于点O，图中阴影部分面积为 . 3.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1～9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于23，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且A+B+C=519.如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、x+y,则x+y= ；xy= . 4.设实数x满足x3-3x-2=0，若x7-ax2+bx-c=0，则2a-b+c的值是 . 5.若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是 . 6.若，则分式的值为 . 7.把边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的面积为 . 8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，D是AC上一点，E是BC上一点，DE=3，若以DE为直径的圆交AB于M、N点，则MN的最大值为 . 9.方程的根为 . 10.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q′，连接OQ′，则OQ′的最小值为_____． 11.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P从B点沿BD向D点移动，若过点P作AB的垂线交AB于E点，过点P作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为 . 12.如图，抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是 . 13.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4，线段BC上有一点P（不与B、C重合），连接AP，将△ACP延AP翻折，得到△ADP，连接CD、BD，当△CDB为等腰三角形时，CP的长为 . 14.对一切实数x,若二次函数y=ax2+bx+c（a＜b）的值恒为非负数，则的最小值是 . 15.对一切实数k,有成立，则k的最大值为 . 二、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题8分) 求解下列问题： （1）试确定a和b,使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除； （2）已知关于x、y的二次式x2+7xy+ay2-5x-45y-24可分解为两个一次因式的乘积，求a； （3）已知x+y=1，x2+y2=2，求x7+y7的值. 17.(本小题8分) 已知二次函数y=ax2+bx-5a（a,b是实数，a≠0）. （1）求证：若该函数图象与x轴一定有两个不同的交点； （2）若b=-2a,a＞0，该函数图象经过A（n+1，y1），B（n-1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，求n的取值范围. （3）若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且过点（2，1），求b2-2a的最小值. 18.(本小题8分) 如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD平分∠ADC，连接AC交BD于点E. （1）求证：AB=BC； （2）若AC为直径，如图2，求的值； （3）若AD：BC=S△ADE：S△DEC，且S△BEC=S△AEB+S△AED，求的值. 19.(本小题8分) 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为（-1，0）. （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，y轴上存在一点D，使⊙D经过B，C两点，求点D的坐标； （3）如图3，连结BC，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结BP，在点P运动过程中，是否能够使得∠PBC=45°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由. 1.【答案】9- 2.【答案】 3.【答案】12 27 4.【答案】73 5.【答案】m≥1且m≠3 6.【答案】 7.【答案】 8.【答案】 9.【答案】1 10.【答案】 11.【答案】 12.【答案】-1 13.【答案】或 14.【答案】3 15.【答案】 16.【答案】 6 17.【答案】（1）证明：∵a≠0，Δ=b2+20a2＞0， ∴该函数图象与x轴一定有两个不同的交点； （2）解：∵若b=-2a,则抛物线的对称轴为直线x=1， ∵a＞0，若A，B ... ...