15.3.2 等边三角形（第2课时 含30°角的直角三角形）（ 分层作业）（原卷版+解析版）八年级数学上册同步培优备课系列（人教版2024）【2025-2026】

15.3.2 等边三角形(第2课时 含30°角的直角三角形) 1．（2022·山东淄博）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：连接AD， 由作图知：DE是线段AC的垂直平分线， ∴AD=CD=3， ∴∠DAC=∠C， ∵AB=AC，∠A=120°， ∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°， ∴∠BAD=120°-∠DAC=90°， ∴BD=2AD=6， 故选：C． 2．如图，在四边形中，，过点作，分别交、于点，若，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选：D 3．（2024·山东泰安）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 4．如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若的长为米，则乘电梯从点到点上升的高度为 米． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴点到点上升的高度米， 故答案为： ． 5．如图，在中，，，，垂足为．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元． 【答案】 【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点， ， ， ，， ， ， ， 每平方米售价元， 购买这种草皮的价格：元． 故答案为：． 7．（辽宁丹东）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC，若DE＝1，则BC的长是 ． 【答案】3 【详解】解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE＝1， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠B＝∠DAB， ∵∠DAB＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠DAB＝∠B， ∵∠C＝90°， ∴∠CAD+∠DAB+∠B＝90°， ∴∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝2， ∴BC＝BD+CD＝1+2＝3， 故答案为3． 8.（2023·内蒙古通辽）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s． 【答案】1 【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得， ， ∵， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：1． 9．（2022·广西百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝ (1)求证：△ABC≌△CDA ； (2)求草坪造型的面积． 【详解】（1）在和中， ， ； （2）过点A作AE⊥BC于点E， ， ， ， ， ， ， ， 草坪造型的面积， 所以，草坪造型的面积为． 10．（2022·湖南长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为． (1)求该 ... ...