第四章图形的相似单元测试卷（冲刺卷·含答案）北师大版2025—2026学年九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台 第四章图形的相似单元测试卷（冲刺卷）北师大版2025—2026学年九年级上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：_____ 班级：_____成绩：_____ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A． B． C． D． 2．已知，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 3．两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（ ） A． B． C． D． 4．△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长应等于( ) A． B．2 C． D．2 5．如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （ ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 6．如图，D 、E 分别是的边上的点，且，相交于点 O ，若，则与的比是 （ ） A． B． C． D． 7．如图，在边长为8 的等边三角形 中，D，E 分别为，的中点，于点F，G为的中点，连接，则 的长为（ ） A．4 B． C． D．5 8．如图，在中，E是边的中点，交于点O，如果的面积为1，则的面积为（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．如图，中，为上的中线，F为上的点，交于E，且，则 10．在中，，，点D在直线上，且，过点D作交边所在直线于点E，则的长为 ． 11．如图，在正方形中，E为边上一点，，连接，过E作，交于点F，，则正方形的面积为 ． 12．已知，如图，在正方形中，F是的中点，与交于点G，则与的面积之比是 ． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式； （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． 14．如图，等边三角形ABC的边长为6，D是BC上一动点，∠EDF＝60°． （1）求证：△BDE∽△CFD． （2）当BD＝1，FC＝3时，求BE的长． 15．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 16．如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 17．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．求证： (1)； (2)． 18．在矩形中，点在边上，点在边上，连接，且，． (1)如图1．求证：； (2)如图2．点为线段上一点，连接，作交分别于点和点．且，求证：∽； (3)如图3．在（2）的条件下，若，，求的长． 参考答案 一、选择题 1—8：BCBCCBCC 二、填空题 9． 10．8或16 11．81 12． 三、解答题 13．【解答】（1）证明： ∵∠BAC＝90°，AB＝AC ∴∠B＝∠C＝∠ADE＝45° ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE ∴∠BAD＝∠CDE ∴△ABD∽△DCE； （2）由（1）得△ABD∽△DCE， ∴， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1， ∴BC，CDx，EC＝1﹣y， ∴， ∴y＝x2x+1＝（x）2（0＜x）； （3）当AD＝DE时，△ABD≌△CDE， ∴BD＝CE， ∴x＝1﹣y，即 x﹣x2＝x， ∵x≠0， ∴等式左右两边同时除以x得：x1 ∴AE＝1﹣x＝2， 当AE＝DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点， 所以，AE； 当AD＝AE时，∠DAE＝90°，D与B重合，不合题意； 综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形， AE的长为2或 ． 14．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED，∠EDF＝60°， ∴∠BED＝∠CDF， ∴△BDE∽△CFD； （2）解：在等边△ABC中，边长为6，BD＝1， ∴CD＝BC﹣BD＝5， ∵△BDE∽△CFD， ∴BE：CD＝BD：CF， ∴BE：5＝1：3， ∴BE． 15．【解】 ... ...