5.5用二次函数解决问题同步训练（含解析）2025-2026学年苏科版数学九年级下册

5.5 用二次函数解决问题 知识梳理 一、核心原理 待定系数法的本质是根据二次函数的表达式形式，结合已知条件列出关于系数（、、或、、）的方程（组），求解系数后确定函数表达式。核心依据是“函数图象经过某点，则该点坐标满足函数表达式”。 二、三种表达式形式及适用场景 （一）一般式：（） 适用场景：已知函数图象经过三个不共线的点（如、、）； 求解步骤：将三个点的坐标分别代入一般式，得到三元一次方程组，解方程组求出、、的值，代入即可得到表达式。 （二）顶点式：（） 适用场景：已知顶点坐标，或已知函数的最值（最值为），且知道另一个点的坐标； 求解步骤：先将顶点坐标代入顶点式，再将另一个点的坐标代入，得到关于的一元一次方程，求出的值，整理即可得到表达式。 （三）交点式：（） 适用场景：已知函数图象与轴的两个交点坐标、，且知道另一个点的坐标； 求解步骤：将两个交点坐标代入交点式，再将第三个点的坐标代入，得到关于的一元一次方程，求出的值，展开后可化为一般式。 三、常见题型与解题方法 已知三点求表达式：优先选择一般式，若其中两点为与轴交点，选交点式更简便； 已知顶点和一点求表达式：直接用顶点式，快速求出的值； 已知与轴交点和一点求表达式：用交点式，简化计算； 已知图象特征求表达式：结合开口方向（判断的符号）、对称轴、最值等特征，选择合适的表达式形式，再结合已知点求解； 综合场景：如已知“蛋圆”的切线、正方形与抛物线的交点等，先根据题意确定关键条件（如顶点、交点），再选择对应形式求解。 四、关键技巧 表达式选择技巧：根据已知条件灵活选择，优先选择能减少未知数个数的形式（如已知顶点选顶点式，已知交点选交点式），降低计算难度； 验证技巧：求出表达式后，可将已知点的坐标代入验证，确保系数求解正确； 转化技巧：交点式、顶点式可通过展开、配方等转化为一般式，满足题目对表达式形式的要求。 五、易错点 代入坐标时计算错误：尤其是负数坐标代入时，符号处理不当（如代入一般式时，需平方，避免漏算符号）； 选错表达式形式：如已知顶点却用一般式，增加计算量且易出错； 忽略的前提：求解后未验证的值是否为0，导致函数不是二次函数； 交点式中混淆交点坐标符号：如交点代入时，应为，而非； 未结合图象特征验证：如已知开口向下，却求出，未及时检查纠错。 同步训练 一、单选题 1．某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，他推出铅球的距离为（ ） A．2m B．3m C．8m D．m 3．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点、处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离约为（结果保留整数）（） A．13米 B．28米 C．15米 D．16米 4．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（ ） A．2 B．3 C．6 D． 5．如图，小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ） A．22 B．21 C．16 D．12 6．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A．8 B．10 C． D． 二、填空题 7．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行 ... ...