1.4解直角三角形 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

1.4 解直角三角形 知识梳理 一、核心定义 解直角三角形：在直角三角形中，已知至少一个边和其他元素（边或角），求出所有未知边和角的过程。直角三角形元素包括3条边（斜边、两条直角边）和3个角（1个直角、2个锐角）。 二、核心依据 （一）三角函数定义（Rt△ABC中，∠C=90°） 正弦：sinA = ∠A对边/斜边，sinB = ∠B对边/斜边； 余弦：cosA = ∠A邻边/斜边，cosB = ∠B邻边/斜边； 正切：tanA = ∠A对边/∠A邻边，tanB = ∠B对边/∠B邻边； 余切：cotA = ∠A邻边/∠A对边，cotB = ∠B邻边/∠B对边。 （二）边角关系 同角关系：sin A + cos A = 1，tanA = sinA/cosA，tanA·cotA = 1； 互余角关系：∠A + ∠B = 90°，则sinA = cosB，cosA = sinB，tanA = cotB。 （三）基本定理 勾股定理：直角边 + 直角边 = 斜边 ； 内角和：直角三角形两锐角互余。 三、常见题型与方法 已知1条直角边+1个锐角：先求另一个锐角（互余），再用三角函数求斜边和另一条直角边； 已知2条边：用勾股定理求第三边，再用三角函数求锐角； 非直角三角形转化：作高构造直角三角形（如等腰三角形作底边高、一般三角形作顶点到底边的高），再按直角三角形求解； 实际应用：将问题转化为直角三角形，利用三角函数求距离、高度等； 综合题：结合相似三角形、中线等，通过构造直角三角形分步计算。 四、易错点 混淆三角函数中对边、邻边（需明确基准角）； 非直角三角形直接用三角函数（需先构造直角三角形）； 记错特殊角三角函数值（如30°、45°、60°的sin、cos、tan值）； 实际问题中角度对应错误； 计算时单位不统一或根式未化简。 同步训练 一、单选题 1．在中，，，且的周长为36，则此三角形的面积为（ ） A．12 B．24 C．48 D．96 2．在中，，若，则的值是（ ） A． B． C． D． 3．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点到点的水平距离为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则下列三角函数值错误的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（ ）． A．7 B．8 C．9 D．12 6．如图，在中，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，延长斜边到点D，使，连接．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在中，，点D在边上，连接．若，，，则线段的长为 ． 9．如图是一块四边形空地，该空地面积为 ． 10．如图，已知中，，，，，那么的长为 ． 11．已知：如图，在中，，，，则的长为 ． 三、解答题 12．如图，在中，，，． (1)求斜边的长． (2)求边的长． (3)求的值． 13．在中，已知，，，求的面积． 14．如图，在中，，，当时，求的长．（说明：解题中需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹，不用写作法） 15．如图，是的中线，，，．求： (1)的长； (2)的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 《1.4 解直角三角形 同步训练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D B D C C B 1．C 【分析】过A作于D，设，则， 由勾股定理可得，再由的周长为36，可得，然后根据三角形的面积公式求出即可． 本题考查了解直角三角形、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，关键是得出关于a的方程和构造直角三角形． 【详解】解：过A作于D， ∵， ∴可设，则， 由勾股定理得：， ∵， ， ∵的周长为36， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积是 ， 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握其相关知识点是解题的关键．根据正切的定义先表示出，，再根据勾股定理求出，然后根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：如图，在中，， ... ...