2.5 直线与圆的位置关系 培优练习（含答案）2025-2026学年数学苏科版九年级上册

2.5 直线与圆的位置关系 知识梳理 一、核心定义 直线与圆的位置关系：包括相交（直线与圆有两个公共点）、相切（直线与圆有一个公共点，直线叫切线，公共点叫切点）、相离（直线与圆无公共点）。 切线相关：从圆外一点引圆的两条切线，这点与切点之间的线段长叫切线长。 二、核心定理与性质 （一）切线的性质 切线垂直于过切点的半径（直线是圆的切线，必垂直于过切点的半径）； 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且这点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 （二）切线的判定 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 （三）相关衍生性质 圆的切线垂直于过切点的半径，反之，过圆心且垂直于切线的直线必过切点； 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可结合切线性质推导角度关系； 圆内接四边形的对角互补，可辅助求解切线相关角度问题。 三、常见题型与方法 切线性质应用：已知切线，连接切点与圆心得垂直关系，结合勾股定理、角度关系求解线段长度或角度； 切线判定证明：先连接半径，证明半径与直线垂直；或计算直线到圆心的距离，证明等于半径； 切线长定理应用：利用切线长相等转化线段长度，求三角形周长或线段长度； 角度计算：结合圆周角定理、切线性质、三角形内角和等，推导未知角度； 综合计算：结合勾股定理、全等三角形、等腰三角形性质，求解线段长度、圆的半径等。 四、易错点 证明切线时，遗漏“经过半径外端”或“垂直于半径”的条件； 忽略切线长定理中“从圆外一点”的前提，误用定理； 计算时未正确构造直角三角形，导致线段或角度关系出错； 混淆圆周角与圆心角的关系，影响角度推导； 综合题中未合理连接辅助线（如连接半径、直径、切线等），无法转化问题。 培优练习 一、单选题 1．如图，已知是的切线，切点为A，连接交于D，点C在上，设，，则α，β满足的关系为（ ） A． B． C． D． 2．如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 3．如图，的边与相交于C、D两点，且经过圆心O，边与相切，切点为B．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．如图，是的内接三角形，是延长线上一点，且与相切于点，若，则的半径为（ ） A． B． C．2 D． 5．如图，是的直径，是的两条弦，是过点E的切线，且，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在内已知为直径，是的切线，且的延长线交于点．连接．若，则的度数为（ ） A．45 B．50 C．55 D．60 7．在边长为4的正方形内有一个等腰，连接，若，则内切圆的半径为（ ） A． B．1 C． D． 二、填空题 8．如图，是的切线，是切点，连接，．若，，，则的长为 ． 9．如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，．当度，则 度；当，，则的周长为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，的半径是1，直线与x轴交于点，且与x轴的正半轴夹角为，若直线与有公共点，则x值的范围是 ． 11．如图，是的切线，连接并延长交于点，点，在上，且．若，则的度数是 ． 三、解答题 12．如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E． (1)求证：； (2)求证：为的切线； (3)点F是与的交点，若，求． 13．已知为的直径，是的切线且切点为点，过点作于点，交于点，连接． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点为的中点，，求线段的长． 14．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 15．如图，中，，以为直径的交的延长线于点E，连接，是的切线． (1)求证：； (2)若，，求CD的长． 16．如图，为的直径，为的弦，C为上一点，，，垂足为D． (1)连结，判 ... ...