第20章 勾股定理 数学活动：利用勾股定理绘制图案 教学设计 初中数学人教版（2024）八年级下册

数学活动　利用勾股定理绘制图案[教材新增] 1.理解勾股定理在图案绘制中的应用原理. 2.掌握利用勾股定理创作图案的方法. 3.提升数学审美与实践创新素养. 重点：运用勾股定理绘制及解读图案. 难点：创意设计勾股定理相关图案. 知识链接：回顾勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即若直角边为a、b，斜边为c，则a2＋b2＝c2，以及常见直角三角形的三边关系. 探究点一：勾股树的绘制原理 分析图①勾股树，指出先以直角三角形为基础，利用勾股定理（对应正方形的面积关系：两个小正方形的面积和等于大正方形的面积），通过在新生成的图形上多次重复构造相同图形，逐步形成图案. 解：如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如右图所示的“勾股树”. 归纳总结：勾股树以勾股定理为核心，依托正方形的面积关系，通过多次重复构造相似图形，体现数学“无限”之美. 探究点二：图②图案的绘制逻辑 观察图②由多个三角形组成的图案，引导学生发现以一系列直角三角形为基础，利用勾股定理确定各边长度（或对应弧长等），依次构造新直角三角形，拓展绘制图案. 解：第1个直角三角形两直角边长分别是1和1，以第1个直角三角形的斜边作为直角边，另一条外侧的直角边为1，画出第2个直角三角形；以第2个直角三角形的斜边作为直角边，另一条外侧的直角边为1，画出第3个直角三角形，…，第1个三角形的斜边长是＝，第2个三角形的斜边长是＝，第3个三角形的斜边长是＝＝2，第n个三角形的斜边长是.以此类推即可完成构图. 归纳总结：该图案利用勾股定理确定直角三角形的三边关系，以边为基础构造新图形元素，重复操作形成图案. 探究点三：图③图案的创作思路 研究图③几何拼接图案，指出借助勾股定理，利用直角三角形三边对应图形（如正方形、等腰直角三角形等）的面积或边长关系，重复构造含勾股关系的图形模块绘制. 解：如图，以直角三角形的三边为边，分别向外部作正方形，即可完成作图，三个图形的面积关系满足S1＋S2＝S3. 归纳总结：基于勾股定理的图形边长、面积关系，重复构造图形模块，组合成复杂图案. 1.如图，x，y，z，w，p分别表示相应线段的长度，其中是无理数的有（　C　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图以直角三角形的三边为边，分别向外部作等边三角形，这三个图形中面积S1，S2，S3关系满足　S1＋S2＝S3　. 3.如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形的面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并说明理由. 解：S1＋S2＝S3.理由如下：∵S1＋S2＝π（）2＋π（）2＋S3－π（）2，∴S1＋S2＝π（a2＋b2－c2）＋S3.∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3. 4.有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和. 解：由勾股定理知：“生长”1次，“生长”出的两个正方形的面积和等于原来正方形的面积，所有正方形的面积和为2；“生长”2次，“生长”出的四个正方形的面积和等于等于第一次“生长”出的两个正方形的面积和，所有正方形的面积之和为3；……经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是n＋1；经过2025次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2026. 　　　　　　 ... ...