第17章 一元二次方程 小结与复习 课件(共26张PPT)2025-2026学年沪科版数学八年级下册

(课件网) 小结与复习 第 17 章 一元二次方程 一、一元二次方程的基本概念 1. 定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一般形式： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 3. 项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 中， 一次项：ax2 一次项系数：a 二次项：bx 二次项系数：b 常数项：c 4. 注意事项： (1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为2； (3) 二次项系数不为 0； (4) 整式方程． 二、一元二次方程的解法 1. 直接开平方法 2. 配方法 一般地，对于可化为 x2 = p 的方程， (1) 当 p > 0 时，方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； (2) 当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 p < 0 时，所以方程无实数根。 x2 + px + ( )2 = (x + )2. 二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方。 3. 公式法 4. 因式分解法 当 b2 - 4ac≥0 时， 当 b2 - 4ac＜0 时，此时方程无实数根。 通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法。 ax2 + bx + c = 0 a( x + x1 )( x + x2 ) = 0 5.一元二次方程的各种解法及适用类型 一元二次方程 的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0) (ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0) ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) (ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0) 三、一元二次方程的实际应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 验 答 （1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系； （2）设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法； （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节至关重要，决定着能否顺利解决实际问题； （4）解方程：用适当的方法求出方程的根； （5）检验：一验所得根是否方程的根，二验是否符合题意和实际； （6）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 考点一 一元二次方程的定义 例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ） A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0 解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须有二次项 (二次项系数不为 0)，因此它的系数 m - 1 ≠ 0. A 考点二 一元二次方程的根的定义的应用 解析 根据一元二次方程根的定义可知，将 x = 0 代入原方程，左右两边相等，则有 m2 - 1 = 0，解得 m = ±1.舍去 1，应填 -1. 这种解题方法我们称之为“有根必代”. 例2 若关于 x 的一元二次方程 (m - 1)x2 + x + m2 - 1 = 0 有一个根为 0，则 m = . 【易错提示】由于原方程是一元二次方程，所以 m 的值为 1 不符合其定义，应舍去，要引起注意. -1 2. 一元二次方程 x2 + px - 2 = 0 的一个根为 2，则 p 的值为 . -1 针对训练 1. 方程 5x2 - x - 3 = x2 - 3 + x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 4 -2 0 解析 (1) 配方法的关键是配上一次项系数一半的平方； 考点三 一元二次方程的解法 例3 (1) 用配方法解方程 x2 - 2x - 5 = 0 时，原方程应变为（ ） A.(x - 1)2 = 6 B.(x + 2)2 = 9 C.(x + 1)2 = 6 D.(x - 2)2 = 9 (2) (易错题) 三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2﹣13x + 36 = 0 的根，则该三角形的周长为（　 ） A．13 B． 15 C．18 D．13 或 18 A A (2) 先求出方程 x2﹣13x + 36 = 0 的两根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长． 【易错提示】 (1) 配方法的前提是二次项系数是 1； (a - b)2 与 (a + b)2 要准确区分； (2) 求 ... ...