(
课件网) 第11章 二次根式 11.2 二次根式的乘除 八下数学 SK 1.了解二次根式乘、除法的性质，会运用性质进行计算，提升运算 能力. 2.了解最简二次根式的概念，并能逆用二次根式乘、除法的性质化 简二次根式. 二次根式乘法的性质： ，即两个算术 平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根． 特别地，当,时， . 二次根式乘法性质的推广 （1） . （2） ，当二次根式前面有系数时， 可类比单项式与单项式的乘法法则进行运算，即把系数之积作为积 的系数，被开方数的积作为积的被开方数. 典例1 计算: （1） ； 解： . （2） ； 解： . （3） ； （4） . 解： . 解： == 1.把 反过来，可以得到 ，即两个非负数的积的算术平方根， 等于这两个非负数的算术平方根的积.利用这个式子可以化简一些 二次根式. 该性质可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算， 如 . 2.逆用二次根式乘法的性质化简的步骤 （1）将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简 时，先把 化成 的形式； （2）利用和 ，将能开 得尽方的因数或因式开到根号外，如 . 典例2 化简: （1） ； 解： . （2） ; 解：. （3） ； 解： . （4） . 解：当, 时， . 二次根式除法的性质 ，即两个算术平方根的商，等于它们被开方 数的商的算术平方根. 在中，要特别注意.若 ， 则式子无意义. 二次根式除法性质的推广 （1） . （2） . 典例3 计算: （1） ； 解：方法一 . 方法二 . （2） ； 解：方法一 . 方法二 . （4） . 解： . （3） ; 解： 把 反过来，就得到 ， 即商的算术平方根等于被除数（必须非负）的算术平方根除以 除数（必须为正）的算术平方根. 利用这个式子可以化简一些二次根式. 典例4 化简: （1） ； 解： . （2） ; 解： . （3） ； 解： . （4） . 解：当,时， . 分母有理化 示例 使分母中不含根号的方法称为 分母有理化. 当， 时， （1） . （2） . 典例5 化简： （1） ; 解：（1） . （2） ; （2） . （3） . （3）当时， . 1.一般地，化简二次根式就是使二次根式： （1）被开方数中不含分母； （2）分母中不含有根号; （3）被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数，且 因式的次数等于1. 这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式. 典例6 下列各式中,哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？ 不是最简二次根式的，说明理由.（1）;（2）;（3） ; （4） ；（5） . 解： 序号 是不是最简 二次根式 理由 （1） 是 满足最简二次根式的条件. （2） 不是 被开方数中含分母. （3） 不是 被开方数中含有能开得尽方的因数. （4） 是 满足最简二次根式的条件. （5） 不是 ， 被开方数中含有能开得尽方的因式. 2.化简二次根式的一般类型#5 类型 举例 将被开方数中能开得尽方 的因数或因式进行开方. , 化去根 号下的 分母. 若被开方数中含 有带分数，应先 将带分数化成假 分数. 或 类型 举例 化去根 号下的 分母. 若被开方数中含 有小数，应先将 小数化成分数. 或 被开方数是多项式的要先 进行分解因式. . 典例7 把下列各式化为最简二次根式: （1） ； 解： . （2） ； 解：当, 时， . （3） ； 解： . （4） ； 解： . （5） . 解：当,， 时， . 解题通法 将二次根式化成最简二次根式的一般步骤 ... ...
