中小学教育资源及组卷应用平台 2026江苏中考数学专题练 突破二 重难题型 题型五 函数综合题 类型1 二次函数性质综合题 1．[2025山东]已知二次函数,其中,为两个不相等的实数. （1） 当,时,求此函数图像的对称轴. （2） 当时,若该函数在时,随的增大而减小；在时,随的增大而增大,求的取值范围. （3） 若点,,均在该函数的图像上,是否存在常数,使得 若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 【答案】 （1） 解：当，时，二次函数可化为， 此函数图像的对称轴为直线. （2） 当时，二次函数可化为， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 在时，随的增大而减小，， 在时，随的增大而增大，，. （3） 存在. 点，，均在该函数的图像上， ， ， . ， ， 整理得， ，为两个不相等的实数，， ，解得. 2．[2025泰州二模]已知二次函数，一次函数，其中，为常数，. （1） 求证：二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上. （2） 当时，，求，的值. （3） 点，分别在二次函数和一次函数图像上. ① 当，时，求的值； ② 若抛物线上存在两个不同的点，求的取值范围. 【答案】 （1） 解：证明：， 抛物线的顶点坐标为， 把代入一次函数，得， 二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上. （2） 由（1）可知，抛物线的对称轴为直线， ， 当时，图像关于直线对称. 若， 则时，，时，， 解得 若， 则时，，时，， 解得 综上所述，或 （3） ① 当，时， ，， 将，分别代入， 得 ， 解得或. ② 由题意得， 整理得， 抛物线上存在两个不同的点， 方程有两个不相等的实数根， ，解得. 类型2 线段、面积问题 3．[2025常州模拟]如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像是抛物线，与轴交于，，顶点为，连接.将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到新的抛物线.新抛物线的顶点为，与抛物线交于点，四边形是平行四边形. （1） _ _ _ _ _ _ _ _ ； （2） 求关于的函数表达式； （3） 设抛物线的对称轴与抛物线交于点，与直线交于点，若，求的值. 【答案】（1） . （2） 解：如图， 抛物线的表达式为， 顶点的坐标为， 设平移后的抛物线的表达式为， ， 连接、交于点， 四边形是平行四边形，且， 点的坐标为， ，. 把代入中，得， 整理得. （3） 如图所示， 由（2）可知点的坐标为， 由，易得直线的表达式为， 把代入中，得，. 把代入中，得，. ， ， ， 整理得， 解得或（舍去）， 故的值为5. 4．[2025镇江模拟]如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点. 备用图 （1） 求抛物线的函数表达式； （2） 当的值最大时，求点的坐标和的最大值； （3） 若是抛物线上的一点，的内切圆的圆心恰好落在轴上，求点的坐标. 【答案】 （1） 解：将,代入， 得解得 抛物线的函数表达式为. （2） 对于函数，令，得，，， 由,易得直线的解析式为，过点作轴交于点， 设， 则， , ， ，， ， , 当时，取得最大值,为，此时. （3） 的内切圆的圆心恰好落在轴上，轴与的平分线共线， 作点关于轴的对称点，则直线与抛物线的交点即为点， 由,易得直线的解析式为， 联立得 解得或（舍去）， 点的坐标为. 5．[2025宿迁二模]在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方. 图1 图2 （1） 求抛物线的表达式. （2） 如图1，过点作轴，交直线于点，连接，若，求点的坐标. （3） 如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点.记，，的面积分别为，，.求的最小值. 【答案】 （1） 解：将,,代入， 得解得 . （2） 设直线的解析式为，则解得 直线的解析式为， 设点， 轴，轴， ，， ，， ，， ， ， 解得，（此时，重合，舍去），. （3） ，， ，， ， 作交轴于点， ... ...
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