第9讲 频率的稳定性-2025-2026学年北师大版数学七年级下册寒假预习

中小学教育资源及组卷应用平台 第9讲 频率的稳定性 一、核心知识点 （一）频率的定义与计算（基础考点） 1. 定义 在重复试验中，某一事件发生的次数（称为“频数”，记为）与试验总次数（记为）的比值，叫做该事件发生的频率。 核心本质：频率是“事件发生的频繁程度”的定量描述，随试验次数变化而变化。 2. 计算公式 频率频数试验总次数 取值范围：频率的值始终在到之间（），对应事件发生的可能性从“不可能”到“必然”。 3. 示例计算 示例：掷一枚硬币次，正面朝上的次数为次，则正面朝上的频率为；若再掷次，正面朝上次，此时累计试验次，累计频率为。 （二）频率的稳定性（核心定理） 1. 实验规律（频率稳定性定理） 大量重复试验中，某一随机事件的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率（统计定义）。 关键特征： 试验次数较少时，频率波动较大； 试验次数越多，频率波动越小，越接近概率； 稳定性是“趋近于”而非“等于”，即频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。 2. 经典示例（掷硬币试验） 试验次数时，正面朝上频率可能为、等，波动较大； 试验次数时，频率通常在左右小幅波动； 试验次数趋近于无穷大时，频率无限接近概率（硬币均匀时）。 （三）概率的统计定义（高频考点） 1. 定义 一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件发生的概率，记作。 取值范围：（与频率一致）： 必然事件的概率； 不可能事件的概率； 随机事件的概率。 2. 概率与频率的区别与联系 对比维度 频率 概率 本质属性 试验结果的统计量（动态变化） 事件本身的固有属性（静态定值） 取值特点 随试验次数变化而波动 不随试验次数变化，唯一确定 关系 大量重复试验中，频率趋近于概率（概率是频率的稳定值） 概率是频率的理论依据，频率是概率的近似估计 示例 掷硬币100次，正面朝上48次，频率为0.48 掷均匀硬币，正面朝上的概率为0.5 （四）用频率估计概率的步骤与应用 1. 核心步骤 设计重复试验（保证试验条件一致，如摇匀袋子、均匀掷骰子）； 记录试验总次数和事件发生的频数； 计算频率； 当试验次数足够大时，用频率作为概率的估计值（即）。 2. 实际应用场景 估计随机事件的概率（如估计抽奖中奖概率、估计产品合格率、估计池塘中鱼的数量）； 示例：某超市举办抽奖活动，前1000人抽奖有100人中奖，中奖频率为，可估计该抽奖活动的中奖概率约为（即10%）。 （五）试验注意事项 试验条件要一致（如摸球时袋子需摇匀，保证每个球被摸到的机会均等）； 试验次数要足够多（次数越多，频率越接近概率，估计结果越准确）； 避免人为干预试验结果（如刻意选择某类球摸取，导致频率偏差）。 二、常见易错知识 1. 混淆频率与概率的本质区别（核心易错点） 错误表现： 认为“频率等于概率”，如“掷硬币10次，正面朝上6次，频率为0.6，所以正面朝上的概率是0.6”； 忽略概率的“固有属性”，认为“概率随试验次数变化”，如“掷硬币次数越多，正面朝上的概率越大”； 用少量试验的频率直接作为概率，如“掷硬币3次都正面朝上，所以正面朝上的概率是1”。 正确分析： 频率是“动态统计量”，随试验次数变化；概率是“静态定值”，由事件本身决定，与试验次数无关； 少量试验的频率波动较大，不能作为概率的估计值；只有大量重复试验的频率稳定在某个常数附近，该常数才是概率。 正确表述：“掷硬币10次，正面朝上频率为0.6，这是该次试验的频率，不能等同于概率；大量重复试验后，正面朝上的频率会趋近于概率0.5”。 2. 忽略“试验条件一致”对频率的影响 错误表现： 试验时未保证条件一致，导致频率偏差，仍用该频率估计概率，如“摸球时袋子未摇匀，红球集中在底 ... ...