第五章 圆 专项培优 习题课件（7份打包） 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

(课件网) 第五章　圆 专题3　证明圆的切线的常用方法 1．如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD．试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由． 返回 【解】PD与⊙O相切．理由如下：如图，连接PO. ∵∠ACP＝60°， ∴∠AOP＝2∠ACP＝120°. ∴∠POD＝180°－∠AOP＝60°. ∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°. ∵PA＝PD，∴∠D＝∠OAP＝30°. ∴∠OPD＝180°－∠POD－∠D＝90°，即OP⊥PD. 又∵OP是⊙O的半径，∴PD与⊙O相切. 2．如图，BD是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，且AB＝AC，以AD为边作∠DAF＝∠ACD，交BD的延长线于点F． (1)求证：AF是⊙O的切线； 【证明】如图，连接OA. ∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°， ∴∠OAB＋∠OAD＝90°. ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA. ∵∠DAF＝∠ACD，∠OBA＝∠ACD， ∴∠DAF＝∠OBA＝∠OAB， ∴∠DAF＋∠OAD＝∠OAB＋∠OAD＝90°， ∴∠OAF＝90°，即OA⊥AF. 又∵OA是⊙O的半径， ∴AF是⊙O的切线. (2)过点A作AE⊥BD，交BD于点E，若CD＝3DE，求cos∠ABC的值． 【解】如图，延长CD交AF于点H，延长AO交BC于 点G，连接OC. ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°，即CH⊥BC. ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴AG垂直平分BC，∴AG⊥BC. ∴AG∥CH. ∵∠OAF＝90°，AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AHC＝90°. 又∵∠ABE＝∠ACH，AB＝AC， ∴△ABE≌△ACH(AAS)，∴AE＝AH，BE＝CH. ∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADH(HL)， ∴DH＝DE.设DH＝DE＝a，则CD＝3a， ∴BE＝CH＝DH＋CD＝4a，∴BD＝BE＋DE＝5a， ∴OA＝OD＝2.5a，∴OE＝OD－DE＝1.5a， 返回 3．如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D．求证： (1)BE＝CE； 【证明】∵四边形ACBE是圆的内接四边形， ∴易得∠EAM＝∠EBC. ∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM. 又∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM. ∴∠BCE＝∠EBC.∴BE＝CE. 返回 (2)EF为⊙O的切线． 【证明】如图，连接EO并延长，交BC于点H，连接 OB，OC. ∵OB＝OC，EB＝EC， ∴直线EO垂直平分BC. ∴EH⊥BC. ∵EF∥BC，∴EH⊥EF. 又∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线. 4．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且BE平分∠ABC，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE交BA的延长线于点G． (1)求证：GF是⊙O的切线； 【证明】如图，连接OE. ∵BE平分∠FBA，∴∠1＝∠2. ∵OB＝OE，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3，∴OE∥BF. ∵BF⊥GF，∴OE⊥GF. 又∵OE是⊙O的半径，∴GF是⊙O的切线. (2)若AG＝4，GE＝8，求⊙O的半径和EF的长． 【解】设OA＝OE＝r，则OG＝r＋4. 在Rt△GOE中，由OG2＝OE2＋GE2， 可得(r＋4)2＝r2＋82，解得r＝6， 即⊙O的半径为6，∴OG＝10. 作EH⊥BG于H，如图． 返回 5．如图，C，D为线段AB上两点，且AD＝10，CD＝2，BC＝3，过点D作AB的垂线，与以AC为直径的⊙O交于点E，作射线BE． (1)求证：BE为⊙O的切线； 【证明】如图，连接OE. ∵AD＝10，CD＝2，BC＝3， ∴AC＝AD＋CD＝12， BD＝CD＋BC＝5. ∴OE＝OA＝OC＝6， ∴OD＝OC－CD＝4，OB＝OC＋BC＝9. ∵ED⊥AB，∴∠ODE＝∠BDE＝90°. 返回 6．如图，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE． (1)求证：CD是⊙O的切线； 【证明】连接OD，OE. ∵AD切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴DA⊥AB. ∴∠DAB＝90°. ∵AD＝ED，OA＝OE，OD＝OD， ∴△ADO≌△EDO(SSS)． ∴∠OED＝∠OAD＝90°，∴OE⊥CD. 又∵OE是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线. (2)若AB＝12，BC＝4，求AD的长． 【解】过点C作CH⊥AD于点H，则∠CHA＝90°. ∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点， ∴∠DAB＝∠ABC＝90°. ... ...