28.4 垂径定理 一、单选题 1．下列命题正确的是（ ） A．三点确定一个圆; B．任何三角形有且仅有一个外接圆 C．平分弦的直径必垂直弦; D．等腰三角形的外心一定在这个三角形内 2．如图，是的直径，弦于E，若，，则的长是（ ） A．12 B．16 C． D． 3．下列命题中，正确的是（ ）. A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径. B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦. C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心. D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心. 4．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚的砖塞在球的两侧（如图所示），并量得两砖之间的距离刚好是，则大理石球的半径是（ ） A． B． C． D． 5．已知为的直径，弦于点E，，，则的直径为（ ） A．8 B．10 C．16 D．20 6．如图，已知⊙O的半径为，弦垂足为，且，则的长为（ ） A． B． C． D． 7．如图，内接于，，，垂足为点，与相交于点，连接，则的大小为（ ） A． B． C． D． 8．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（ ） A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm 二、填空题 9．如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，求水深是 ． 10．如图， 的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦 11．如图，半圆形纸片AMB的半径为1 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为 . 12．如图，⊙O的直径CD与弦AB交于点M，添加条件： 得到M是AB的中点． 13．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径 ． 14．的半径为，弦，则与之间的距离是 ． 三、解答题 15．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹； （2）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R． 16．如图，在中，，，，弦，垂足为点，求的长度． 17．如图，在半径为的中，弦长．求： （1）的度数； （2）点O到的距离． 18．如图，在中，，连接，，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求⊙的半径． 19．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B、C． (1)求证： (2)当时，求大圆与小圆的面积之差． 参考答案 1．B 【分析】根据圆的性质逐一判断即可. 【详解】A. 若三点在同一条直线上时，不能确定圆，故A错误； B. 根据外接圆的性质，任何三角形有且仅有一个外接圆，故B正确； C. 两条直径互相平分，但不一定垂直，故C错误; D. 等腰直角三角形的外心是斜边的中点，故D错误. 故选B. 【点睛】此题考查的是与圆有关的性质，掌握三角形的外接圆的性质和垂径定理的推论是解决此题的关键. 2．A 【分析】连接，设，则，然后根据垂径定理及勾股定理可列方程进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，是的直径，， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 3．D 【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 4．D 【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股 ... ...
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