第二章 圆 专项培优习题课件 （8份打包）2025-2026学年湘教版数学九年级下册

(课件网) 第2章　圆 专题7 与切线有关的辅助线 1．如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD.试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由． 返回 【解】PD与⊙O相切．理由如下：连接PO. 由圆周角定理得∠AOP＝2∠ACP＝120°，∴∠BOP＝60°. ∵OA＝OP，∴易得∠OAP＝∠OPA＝30°. ∵PA＝PD，∴∠D＝∠OAP＝30°. ∴∠OPD＝180°－∠BOP－∠D＝90°.∴OP⊥PD. 又∵OP是⊙O的半径，∴PD与⊙O相切． 2．[2025广安]如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，点E在BC的延长线上，连接AE，∠ABE＝∠CAE. (1)求证：AE是⊙O的切线． 【证明】如图所示，连接OA. ∵OB＝OA，∴∠OAB＝∠ABE. ∵∠ABE＝∠CAE，∴∠OAB＝∠CAE. ∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°， ∴∠OAC＋∠CAE＝∠OAC＋∠OAB＝90°， ∴∠OAE＝90°，∴OA⊥AE. 又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线． (2)过点C作CD⊥AE，垂足为D，若△ABC的面积是△ADC面积的3倍，CE＝12，求AE的长． 返回 3．[2025长沙天心区期末]如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且BE平分∠ABC，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE交BA的延长线于点G. (1)求证：GF是⊙O的切线； 【证明】如图，连接OE. ∵BE平分∠FBA，∴∠1＝∠2. ∵OB＝OE，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3.∴OE∥BF. ∵BF⊥GF，∴OE⊥GF. 又∵OE是⊙O的半径，∴GF是⊙O的切线． (2)若AG＝4，GE＝8，求⊙O的半径和EF的长． 【解】设OA＝OE＝r，则OG＝r＋4. 在Rt△GOE中，OG2＝GE2＋OE2， 即(r＋4)2＝82＋r2， 解得r＝6，即⊙O的半径为6，∴OG＝10. 作EH⊥BG于点H，如图． 返回 4． 如图，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE. (1)求证：CD是⊙O的切线； 【证明】连接OD，OE. ∵AD切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴DA⊥AB.∴∠DAB＝90°. ∵AD＝ED，OA＝OE，OD＝OD， ∴△ADO≌△EDO. ∴∠OED＝∠OAD＝90°.∴OE⊥CD. 又∵OE是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线． (2)若AB＝12，BC＝4，求AD的长． 【解】过点C作CH⊥AD于点H，则∠CHA＝90°. ∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，∴∠DAB＝∠ABC＝90°. ∴四边形ABCH是矩形． ∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4. ∴DH＝AD－AH＝AD－4. 返回 ∵CD切⊙O于点E，CB切⊙O于点B，∴CE＝CB＝4. 又∵AD＝DE，∴CD＝AD＋4. ∴在Rt△CHD中，CH2＋DH2＝CD2，即 122＋(AD－4)2＝(AD＋4)2，解得AD＝9. 5．[2025苏州一模]如图，C，D为线段AB上两点，且AD＝10，CD＝2，BC＝3，过点D作AB的垂线，与以AC为直径的⊙O交于点E，作射线BE. (1)求证：BE为⊙O的切线； 【证明】连接OE. ∵AD＝10，CD＝2，BC＝3， ∴AC＝AD＋CD＝12，BD＝CD＋BC＝5. ∴⊙O半径OE＝OA＝OC＝6. ∴OD＝OC－CD＝4. ∵OE＝6，OB＝OC＋BC＝9，∴OE2＝36，OB2＝81. ∵OE2＋EB2＝36＋45＝81＝OB2， ∴在△OEB中，∠OEB＝90°，即OE⊥BE. 又∵OE是⊙O的半径，∴BE为⊙O的切线． 返回 6．[2025南昌模拟]【课本再现】如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线． 【证明】如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E， 连接OD，OA. ∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB. 又∵△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线． ∴OE＝OD. ∴OE是⊙O的半径． ∴AC是⊙O的切线． 【问题提出】若⊙O的半径为3，则AD与BD的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【解】是定值，定值为9.理由如下： ∵AB＝AC，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，∴∠BAO＋∠B＝90°. ∵OD⊥AB，∴∠DOB＋∠B＝90°. ∴∠BAO＝∠DOB. 返回 7．如图，在△ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长 ... ...