第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第2试试题（PDF版，含答案）

第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛 高一　第2试试题 一、选择题(每小题4分,共40分.) 1.如果一个几何体的主视图和左视图均为矩形,而俯视图为一个圆,则这个几何体是( ) (A)棱锥. (B)直棱柱. (C)圆锥. (D)圆柱. 2. 已 知 f(x) = x4 - 4x3 + 10x2 - 27,g(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6, A={x|f(x)>0},B={x|g(x)=0且x ∈A},则B 中元素的个数是( ) (A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多. x 13.关于x 的方程2 = 有正根,则实数a 的取值范围是( )1-lna (A)(0,1). (B)(1,e). (C)(1,+∞). (D)(e,+∞). 4.Ify2=2x wherexandyarerealnumbers,thentheminimumvalueofz=y2 +x2 +4 is( ) (A)3. (B)4. (C)5. (D)6. 5.设f(x)是R上的偶函数,并且f(x+6)=f(x)+f(3),若f(2)=2014,则f(2014)等于 ( ) (A)2012. (B)2013. (C)2014. (D)2015. 6.若关于x 的方程|2x -3|-k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( ) (A)[0,3). (B)(0,3). (C)[0,+∞). (D)(-∞,3). 7.已知x,y 是实数,且y=2x+ 8-x,则y 的最大值是( ) ( ) ()25A 6. B ( ) 97 ( )129 4. C 8. D 8 . 8.若对于任意的实数x,不等式|x-1|-|x-a|≤10恒成立,则a 的取值范围是( ) (A)[-3,4]. (B)[-4,3]. (C)[-9,11]. (D)[-11,9]. 9.已知a,b,m,n ∈R,且m2n2 >a2m2+b2n2.令M = m2+n2 ,N =a+b,则M 与N 的 大小关系是( ) (A)M >N. (B)M ≥N. (C)M (x-2)2 恰有4个整数解,则实数k的取值范围是 . ìy ≥x, 19.设 m >1,若x,y 满足 íy ≤mx,时,函数z=x +my 的最大值是4,则 m 的值是 x+y ≤1 . 20.AsshowninFig.3,AB=6,BC=8,CA=10.PointPisinsideofthe triangleABC.DE,FG,andIH alpasspointPandareparaleltoAB,BC, andCA,respectively.ThelengthsofDE,FGandIHarealequaltod,thend = . (英汉小词典:paralel平行) 三、解答题 Fig.3 每题都要写出推算过程. 21.(本题满分10分) 记f(x)=lg(3-|x-1|)的定义域为A,集合B={x|x2-(a+1)x+a <0}.若A ∩ B=B,求实数a 的取值范围. 22.(本题满分15分) 在 △ABC 中,a,b,c分别是角A、B、C 的对边,已知8(sin2A -sin2C)=(a-b)sinB,且 △ABC 的外接圆半径是4. (1)求角C; (2)求 △ABC 的面积的最大值. 23.(本题满分15分) 已知函数f( ) 2 a x =x + (x ≠0,a∈R)x . (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)当x ∈ [2,+∞)时,若f(x)是增函数,求实数a 的取值范围. 高一 第 2 试答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B C B D C A C 题号 11 12 13 14 15 答案 0, 3 1或 2 ,1 1 题号 16 17 18 19 20 答案 , 3 1 1 9 k 2 240 ， 2 4 50 9 2 7 47 21. 2,4 . π 22. （1） C . 3 （2）面积最大值是12 3 . 23．（1）当 a 0时， f x x 2 为偶函数； 当 a 0时， f x 既不是奇函数也不是偶函数. （2）实数 a的取值范围是 ,16 . ... ...