第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第2试试题（图片版，含简单答案）

第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛 高一　第2试试题 一、选择题(每小题4分,共40分.以下每个题目的选择支中,仅有一个是正确的.) 1.定义运算:a b {a(a≥b)■ = ( ),则函数f(x) 1=1■ 的图象是( )ba0恒成立,那么大于a的 最小整数是( ) (A)2. (B)1. (C)0. (D)-5. 6.已知函数f(x)=1-2x,g(x)=x2-4x+3,若存在a,b使得f(a)=g(b),则b的取值 范围是( ) (A)[2- 2,2+ 2]. (B)(2- 2,2+ 2). (C)[1,3]. (D)(1,3). x2 ax 14 7.已知函数 + +f(x)= (a∈R),若对任意的x ∈N ,x 2 f (x)≥3恒成立,则a的取+ 值范围是( ) (A)(-∞, 8-3]()[26, ( 8.B 3 +∞). C)[- ,3 +∞). (D)[-3,+∞). 8.当x ∈ [ π- ,5π6 6]时,关于x 的函数y=-a(sin2x x x x2-23sin 2 的图象2cos2-cos 2) 与|y|=2的图象恰有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是( ) (A)|a|<1. (B)|a|>1. (C)|a|<2. (D)|a|>2. 9.如图1,在Rt△ABC 的斜边AB 上有点P,它到这个三角形两条直角边的距 离分别为4和3,则当 △ABC 的面积最小时,PB 的长是( ) (A)5. (B)4. (C)3. (D) 3 4. 10.Givenm,n ∈Z,definef(x)=log2(4-|x|)intheinterval[m,n].The valuerangeoff(x)is[0,2].Ifthereexistsonlyonezeropointong(x)=2|x-1|+ 图1 m+1,thenm+n=( ) (A)-1. (B)0. (C)1. (D)2. (英汉小词典:interval区间;valuerange值域) 二、填空题(每小题4分,共40分.) 11.如图2,ABCD-EFGH 是一个正方体,M、N 是所在棱的中点,用过 M、 N、H 三点的平面切开此正方体,切下的三棱锥的表面积与原正方体表面积的比 是 . 12.若函数f(x)为奇函数,当1≤x ≤4时,f(x)=x2 -4x +5,则 当-4≤x ≤-1时,函数f(x)的最大值为 . 13.平面上有点A(-3,0)和B(0,-3),点C 在直线l:3x+y-2=0上运 图2 动,当CA+CB 最小时,点C 的坐标为 . 14.已知抛物线y=ax2+bx 过点A(4,0),若点B(x,y)为该抛物线在第一象限内的一个动 点,且使得 △AOB 的面积取到最大值8,则a+b= . 15.已知平面直角坐标系中,点B(2,0),点A 在线段OB 上,AB= 2.将线段OB 绕点O 按逆 时针方向旋转角α(0<α<π)到点B′,点A 到点A′,对于y轴上的点P,若 △B′PA′是以 ∠B′为 顶角的等腰三角形,则α 的取值范围是 . 16.若关于x 的不等式(k2-1)x2+2(k+1)|x|+1>0对于任意x ∈R恒 成立,则实数k的取值范围是 . 8ab 17.若a2+4b2=1,则 的最大值为a+2b . 18.AsshownintheFig.3,thesidelengthofsquareABCDis4.Eison BC.AEistangenttoahalfcirclecircleatpointF.Thehalfcircleisinsidethe Fig.3 squarewithCD asdiameter.Findtheareaoftheshadedportion.Answer: . (英汉小词典:diameter直径;tangent相切的) {1, x ≥0, ( (3π 2nπ19.定义符号函数sgnx= 令数列an =sgnsin + )),1,x 0 4 3 b1=1,b2=2,bn+2=- < 2015 bn+1-bn(n≥3),则∑akbk = . k=1 3 20.在 △ABC 中,a,b,c 分别是角A、B、C 的对边.若a=7,c=5,cosB = ,则5 ∠C = . 三、解答题 每题都要写出推算过程. 21.(本题满分10分) 已知an =logn+2(n+3)(n∈N ),定义:可使乘积a1·a2·…·ak 为整数的k(k∈N )为“最 佳数”,求在区间[1,2015]内的所有“最佳数”的和. 22.(本题满分15分) 如图4,四边形ABCD 有外接圆,已知AB=2,BC=6,CD=DA=4. (1)求对角线BD 的长; (2)作 ∠BPD=60°,试求PB2+PD2 的取值范围. 23.(本题满分15分) 已知 ... ...