第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛 高一 第2试试题 一、选择题(每小题4分,共40分.) 1.设A,B 是同一个三角形的两个内角,则不是A
cosB. (D)cos2A >cos2B. 2.函数f(x)=|lg|2-x||的单调增区间是( ) (A)(-∞,1)∪ (3,+∞). (B)(1,2)∪ (3,+∞). (C)(-∞,1)∪ (2,3). (D)(1,2)∪ (2,3). 3.图1中的图形所表示的是将棱长为a 的立方体用一个平面切割后剩下的几何体,则它的体 积不等于原立方体体积一半的有( )个. 图1 (A)3. (B)4. (C)5. (D)6. 4.{an}是公比不为1的等比数列,Sn 是{an}的前n 项和.给出下面3个命题: (1)若{an}中既有正数,又有负数,那么{Sn}中也既有正数,又有负数; (2){an}不可能同时具有最大值和最小值; (3)S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30,… 构成等比数列. 其中,真命题的个数是( ) (A)0. (B)1. (C)2. (D)3. 5.在正数数列{an}中, 1 a1= , 1 4 an+1=an + an + ,则 4 a2012= ( ) (A)1012025. (B)1012036. (C)1013025. (D)1013036. 6.若存在x ∈ [1,2],使得|a·2x -1|-2>0,则a 的取值范围是( ) (A)( 1- ,32 2). (B)( 1 3-∞,-2)∪ ( ,2 +∞). ( )( 1,3 1 3C -4 4). (D)(-∞,-4)∪ ( ,4 +∞). 7.已知O 是坐标原点,动点M 在圆C:(x-4)2+y2=4上,对该坐标平面内的点N 和P,若 → → → → → 2ON +OM =MC+MP=0,则|NP|的取值范围是( ) (A)[0,12]. (B)[1,11]. (C)[2,11]. (D)[1,12]. 8.已知关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有三个不同的实根,其中一个是0,则它的系数中 不能是0的仅有( ) (A)a,c. (B)b,c. (C)a,d. (D)b,d. 9.已知集合A={ 2x aa 关于x 的方程 + =1有唯一实数解},2 则集合A 的真子集的个数是4x -9 ( ) (A)0. (B)3. (C)7. (D)8. 10.如图2所示,已知圆锥的底面半径为7,母线长为14,FC是轴截面ABC底角 ∠ACB 的平分线,BD 是底面的一条弦,且 ∠DBC=30°,则直线FC与BD 的距离是 ( ) ( ) () ( ) ( )7A 14. B 27. C 37. D 2. 二、填空题(每小题4分,共40分.) 图2 11.直角梯形ABCD 中,∠ABC=90°,AD ∥BC,AB=AD=2,BC=4,I为BD → → 的中点,直线 MN 过I 点,且与线段 AB、CD 分别交于点 M、N,则AN ·CM 的最小值是 . 12.已知y=x2+x+18且y ≤10|x+1|,则x 的取值范围是 . 13.当a ≥1,0≤x ≤1时,函数f(x)=x2-ax+8的最大值是 . 14.若实数a,b满足00时,f(x)>1. 解答以下问题: (1)求证:f(x)是增函数; (2)若f(2012)=6037, ... ... 
