第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二 第1试试题（图片版，含答案）

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛 高二　第1试试题 一、选择题(每小题4分,共40分.) 1.集合P={x||x|≤1,x ∈R},Q={x|| x -1|≤1,x ∈Z},则P ∩Q=( ) (A)(0,1). (B){0,1}. (C)[0,1]. (D)[-1,1]. 2.已知x >0,A=log3(1+ x),B=log4x,则A 与B 的大小关系是( ) (A)A >B. (B)A=B. (C)A 1)的等比数列,相邻的两个圆组成一个圆环,则这些 圆环的面积( ) (A)不是等比数列. (B)是等比数列,公比为q. (C)是等比数列,公比为q2. (D)是等比数列,公比为q2-1. 4.设a,b是两个非零向量,则“a 和b同向”是“(a·b)2=(a·a)(b·b)”的( ) (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充分且必要条件. (D)既不充分也不必要条件. 5.已知x,y ∈R,且3x +5-y ≤3y +5-x,则下列关系式中成立的是( ) (A)ex-y ≥1. (B)ey-x ≥1. (C)ln(x-y)≥0.(D)ln(y-x+1)≥1. 6.Therangeofvaluesforthefunctiony=x+ 1-x2 is( ) (A)[- 2,2]. (B)(- 2,2). (C)[-1,2]. (D)(-1,2). 7.方程x+y-2+x x2+2+(y-2) y2-4y+6=0的正整数解的个数是( ) (A)1. (B)2. (C)5. (D)无穷多. 8.已知正三棱柱ABC A1B1C1 中,AA1=a,AB=2a,M、N、E 分 别是AB、AC、A1B1 的中点,那么平面BCE 与平面MNE 所成二面角的余 弦值是( ) ( 3 7 7 27A) (2. B ) . (2 C ) 7. (D) 7 . 2 y 2 9.椭圆x + =1的内接正方形的面积和内接矩形的最大面积的比 图4 1 等于( ) ( )3 ()4 ( )5A . B . C . (D) 7 4 5 6 8. 10.定义:过双曲线焦点的直线与双曲线交于A、B两点,则线段AB称为该双曲线的焦点弦.已知 x2 y2 双曲线 - =1,那么过该双曲线左焦点,长度为整数且不超过25 9 2012 的焦点弦的条数是( ) (A)4005. (B)4018. (C)8023. (D)8036. 二、A组填空题(每小题4分,共40分.) 11.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足:f(x)+g(x)=x2+x+1,则 g(2)= . 12.函数y=e2x+1-ex(x ∈R)的单调递减区间是 . 13.平面直角坐标系中,已知点A(2,1),动点B 在x 轴上,动点C在直线y=x 上,那么 △ABC 的周长的最小值是 . π 14.已知sinθ+cosθ= 2,则tan(θ-3)= . 15.设 A ={n 2011n +2013n2012 ∈ Z+,n ∈ Z+},将 A 中的元素从小到大地排列为:a1,a2, …,则a1+a2+…+a2012= . x2 +1 16.已知数列{xn}中,x n 1=3,xn+1= ,则数列{2x xn }的通项公式xn = . n 17.设A 是半径为5的 ☉O 上的一个定点,单位向量b在A 点处与 ☉O 相切,点P 是 ☉O 上 → 的一个动点,且点P 与点A 不重合,则AP·b的取值范围是 . 18.Supposetheequationx2-2kx+k2 -1=0hastwounequalrealrootsx1,x2,which satisfy|xi-1|<3(i=1,2).Thentherangeofvaluesfortherealnumberkis . 19.如图2,在正四面体ABCD 中,P1,P2 是BC 的3等分点,过这两个分点分 别作CD 的平行线P1Q1,P2Q2,其中Q1,Q2 在BD 上,则点B 到平面AP1Q1, AP2Q2 的距离之比是 . x2 y2 20.已知双曲线C: a2 - 2 = 1的左、右焦点分别是F b 1 ,F2,正三角形AF1F2 → → 的一边AF1 与双曲线左支交于点B,且AF1=4BF1,则双曲线C的离心率的值是 . 图2 三、B组填空题(每小题8分,共40分.) 21.一个正数的小数部分、整数部分及它自身构成等比数列,则该数的整数部分是 , 小数部分是 . 22.已知正三棱锥的侧面积与底面积之比等于λ,则此三棱锥的侧棱与底面边长的比等于 ,侧棱与底面所成角的正弦值等于 . 23.设曲线y=xn+1(n∈N )在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为xn,则 xn = ,log2012x1+log2012x2+…+log2012x2011= . π π 3π 24.已知函数f(x)= 3sin(x+4)cos(x+4)+cosxcos(x+ ),则f(x)的最小正周期2 是 .若函数f(x)的图象按向量b=(m,n)平移后,所得的图象与函数g(x)=sin2x+ π 1的图象重合,且|m|< ,则2 b= . {e|lnx|, ,25.已知f( ) 0