第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛 初三 第2试试题 一、选择题(每小题4分,共40分.) 1.如图1,矩形ABCD 中,AB =2,AD =1,点 M 在边DC 上,若AM 平分 ∠DMB,则 ∠AMD 的大小是( ) (A)75°. (B)60°. (C)45°. (D)30°. 2.化简 7+2 10 - 7-2 10,得到的结果是( ) 图1 (A)22. (B)-22. (C)23. (D)-23. 3.一个矩形被直线分成面积为x,y 的两部分,则y 与x 之间的函数关系只可能是( ) x 1 4.函数 -y= ,3 中 x 的取值范围是( )x -x (A)0以外的一切实数. (B)0,-1以外的一切实数. (C)±1以外的一切实数. (D)0,±1以外的一切实数. 5.若将 127 写成小数,则十分位上的数字是( ) (A)1. (B)2. (C)3. (D)4. 6.代数式|x-2|+|x+5|( ) (A)有最小值,没有最大值. (B)有最大值,没有最小值. (C)既有最小值,也有最大值. (D)既没有最小值,也没有最大值. 7.如图2,△ABC中,AB=2,BC=4,CA=3,平行于BC的直线l过 △ABC 的内心I,分别交边AB、AC 于点D、E,则 △ADE 的周长是( ) (A)5. (B)6. (C)7. (D)8. 3 5 图2 8.若动点M(x,y)与点A(2, )的距离等于M 到直线y= 的距离,则动4 4 点M 的轨迹是( ) (A)双曲线. (B)抛物线. (C)双曲线的一支. (D)一条直线. 1 9.不等式|a|- a2 > 0的解是( ) (A)a ≠0. (B)a >1或a <-1. (C)a >1或 -1
0或a <-1. 10.如图3,△ABC 中,AB=1,AC=2,∠ABC=90°,若BD、EF、GH 都 图3 垂直于AC,DE、FG、HI都垂直于BC,则阴影 △HIC 的面积与 △ABC 面积的比是( ) (3)6 (3)6(A) . (B)2× ( )4 4 . C 3×(3) 6 ( )2 4 . D 3×(34) 6 . 二、填空题(每小题4分,共40分.) 11.方程 3-2x + x =2的根是 . 12.如果正n 边形的一个外角是5°,那么n= . 13.已知关于x 的方程x2-4x-p2+2p+2=0的一个根为p,则p= . 14.平面直角坐标系内,一只跳蚤停在点(5,0)处,它要跳到点(6,0)处,它每一跳都是飞越5 个长度单位,并且总是跳到整点(坐标都是整数的点),也不从原路返回,那么,当它跳到点(6,0)时,至 少跳了 次. 15.将一个圆分成三个相同的扇形,将其中一个卷成圆锥,锥顶对锥底圆周上任意两点的最大 张角的余弦值是 . 16.将相同的平行四边形和相同的菱形镶嵌成如图4所示的图案.设菱形中 较小的内角为x 度,平行四边形中较大的内角为y 度,则y 与x 的关系式是 . 17.△ABC 中,AC=3,BC=5,∠ACB=120°,点M 平分AB,则tan∠MCA 图4 = ,|MC|= . 2x+y=z-1, 18.方程组{ 的正整数解(x,y,z)是 .8x3+y3=z2-1 19.△ABC 的三条高依次是AD=6,BE=4,CF=3,则cosC= ,△ABC 的面积是 . 20.已知f(x)是一个多项式,若f(x)除以(x-1),余5;若f(x)除以(x+2),余2,则f(x) 除以(x-1)(x+2),得到的余式是 . 三、解答题 每题都要写出推算过程. 21.(本题满分10分) 已知二次函数y=mx2+63x+m+4的图象在直线y=-2的上方. (1)求m 的取值范围; (2)当m=2时,求此二次函数的图象在x 轴上截得的线段的长. 22.(本题满分15分) 一家商店销售某种计算器,开始按定价(小于200元的整数元)售出,后来按定价的六折售出,当 售出200台时,共得款30498元.问:打折前,按定价售出了多少台 23.(本题满分15分) x4 设 (x) - 3x2+9- x4-4x2+9 f = x . ( 11)将f(x)化成 (a,b是不同的整数)的形式; g2(x)+a + g2(x)+b (2)求f(x)的最大值及相应的x 值. 初三 第 2 试答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A D B A A B B A 题号 11 12 13 14 15 1 7 答案 x1 , x2 1 72 1 39 9 题号 16 17 18 19 20 1 答案 y x 90 5 3; 19 1,3,6 1 ;16 15 x 4 2 2 4 5 21. m 3. 22. 打折前，按定价售出了 91台. 1 23. （1） f (x) . 3 2 2 x 3 x 3 x x 2 （2） x 3. ... ... 
