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课件网) 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】 第26章 二次函数 26.1 二次函数 什么叫函数？ 它有几种表示方法？ 什么叫一次函数？ y = kx + b 的自变量是什么？常量是什么？为什么要有 k ≠ 0 的条件？k 值对函数性质有什么影响？ 问题1 用总长为 20 m 的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃. 怎样围才能使花圃的面积最大？ 我先列举一些不同的围法。 设围成的矩形花圃为 ABCD，给 AB 的长一些值，求出 BC 的长。 26.1 二次函数 教学过程 一、情境激趣，导入新课（5分钟） 师：同学们，生活中有很多有趣的曲线现象，比如投篮时篮球的运动轨迹、喷泉喷出的水流、拱桥的轮廓，这些曲线都不是我们之前学过的直线，而是“抛物线”。大家思考一下，若要描述篮球的高度与运动时间的关系，用我们学过的一次函数y=kx+b能准确表示吗？（学生讨论） 生：不能，一次函数的图像是直线，而篮球的运动轨迹是弯曲的，它们的变化规律不一样。 师：非常正确。这类曲线现象需要用一种新的函数来描述，今天我们就来学习初中阶段最重要的函数之———二次函数。（板书课题） 设计意图：通过生活中熟悉的抛物线现象，引发学生认知冲突，凸显一次函数的局限性，激发对新函数的探究需求。 二、实例抽象，构建概念（15分钟） 1. 列关系式，感知特征 师：我们先通过三个实例，列出变量之间的关系式，观察它们的共同特点。 实例1：正方形的边长为x，面积为y，写出y与x的关系式。（生：y=x ） 实例2：一个长方形的长是宽的2倍，宽为x，面积为y，求y与x的关系式。（生：长=2x，y=2x·x=2x ） 实例3：某商场将进价为20元的商品以x元出售，每件的利润为（x-20）元，若每天卖出（100-x）件，每天的总利润y与x的关系式是什么？（引导学生计算：y=(x-20)(100-x)= -x +120x-2000） 2. 归纳共性，定义二次函数 师：请大家观察这三个关系式：y=x 、y=2x 、y=-x +120x-2000，它们有什么共同特征？（小组讨论后发言） 生1：都含有两个变量x和y，x是自变量，y是因变量。 生2：自变量x的最高次数都是2。 生3：等号右边都是整式，没有分式或根号。 师：大家总结得很全面。我们把形如y=ax +bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。这里要特别注意“a≠0”这个条件，若a=0，函数就变成y=bx+c，是一次函数了。 即时判断：下列函数是二次函数吗？（1）y=3x-1；（2）y=2x +3x；（3）y=1/x ；（4）y=√x +1。（生：（2）是，其余不是，理由：（1）是一次函数，（3）不是整式，（4）自变量在根号内） 三、探究顶点式，突破性质核心（25分钟） 1. 最简二次函数y=ax 的图像与性质 师：二次函数的性质可以通过图像直观体现。我们先研究最简单的二次函数y=x 和y=-x ，大家用描点法画出它们的图像。（学生列表、描点、连线，教师巡视指导） 师：观察y=x 的图像，它是什么形状？（生：抛物线，开口向上）顶点在哪里？（生：（0,0），是图像的最低点）当x增大时，y的变化规律是什么？（生：x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小） 师：再看y=-x 的图像，与y=x 有什么不同？（生：开口向下，顶点（0,0）是最高点，x>0时y随x增大而减小，x<0时y随x增大而增大） 总结：y=ax 的图像是抛物线，顶点在原点；a>0时开口向上，有最低点；a<0时开口向下，有最高点；a的绝对值越大，开口越窄。 2. 一般顶点式y=a(x-h) +k的性质 师：若将y=x 的图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数关系式是什么？（引导学生猜想：y=(x-2) +3）我们通过描点法验证，它的顶点坐标是（2,3），开口方向不变。 师：由此归纳y=a(x-h) +k的性质：（1）顶点坐标为（h,k），这是抛物线的“核心点”；（ ... ...
