26.2.2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

(课件网) 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】 第26章　二次函数 26.2.2.4二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 问题: 说说画二次函数y=a(x-h)2+k的图象的要点是什么？ 例如 开口方向： 对称轴： 顶点： 向下 x = -2 (-2，2) 怎么画二次函数y=ax2+bx+c的图象 画出函数 的图象并说明这个函数具有哪些性质？ 因为 ， 所以函数即为 因此这个函数的图象开口向下，对称轴为直线 x = 1，顶点坐标为（1，-2）. 先配方，将函数关系式化为 y=a(x-h)2+k的形式. 二次函数y＝ax ＋bx＋c的图象与性质 教学过程 幻灯片1：温故引新，搭建桥梁（5分钟） 师问1：上节课我们学习了二次函数的顶点式y＝a(x-h) ＋k，谁能说说它的顶点坐标和对称轴分别是什么？我们是如何快速判断其图象位置的？ 生答引导：顶点坐标（h,k），对称轴x＝h，通过a、h、k的值可直接确定开口方向、平移情况和顶点位置。 师问2：在实际问题中，二次函数常以y＝ax ＋bx＋c（a≠0）的形式出现，比如“物体自由下落的高度与时间的关系”。这种一般式无法直接看出顶点和对称轴，我们该如何研究它的图象与性质呢？今天我们就来解决这个问题。 设计意图：以顶点式为认知锚点，通过“一般式的局限性”制造问题冲突，激发学生将一般式转化为顶点式的探究欲望，自然衔接新课。 幻灯片2：探究转化，突破核心难点（10分钟） 任务1：自主尝试将二次函数一般式y＝ax ＋bx＋c转化为顶点式，以y＝2x ＋4x＋1为例，教师板书示范转化过程： 1. 提取二次项系数：y＝2(x ＋2x)＋1（将含x的项归为一组，提取a使括号内二次项系数为1）； 2. 配方：在括号内加“一次项系数一半的平方”，同时减回相应值，即x ＋2x＝(x ＋2x＋1)－1＝(x＋1) －1； 3. 整理成顶点式：y＝2[(x＋1) －1]＋1＝2(x＋1) －2＋1＝2(x＋1) －1。 教师引导：类比示范过程，小组讨论“一般式转化为顶点式的关键步骤”，得出核心方法———�配方”，并推导通用结论： y＝ax ＋bx＋c＝a(x＋b/(2a)) ＋(4ac－b )/(4a)，因此顶点坐标为(-b/(2a)，(4ac－b )/(4a))，对称轴为直线x＝-b/(2a)。 幻灯片3：归纳性质，构建知识体系（15分钟） 递进提问：结合转化后的顶点式和具体例子y＝2x ＋4x＋1（转化后为y＝2(x＋1) －1），师生共同梳理一般式的性质： 1. 开口方向：由什么决定？与顶点式是否一致？（由a决定，a＞0开口向上，a＜0开口向下，与顶点式完全一致，如a＝2＞0，开口向上） 2. 对称轴：如何计算？（直线x＝-b/(2a)，代入y＝2x ＋4x＋1得x＝-4/(2×2)＝-1，与顶点式对称轴x＝-1一致） 3. 顶点坐标：通用公式是什么？（(-b/(2a)，(4ac－b )/(4a))，代入得(-1，(8－16)/8)＝(-1，-1)，与顶点式顶点一致） 4. 最值情况：a＞0时，顶点为最低点，最小值为(4ac－b )/(4a)；a＜0时，顶点为最高点，最大值为(4ac－b )/(4a)（如y＝2x ＋4x＋1最小值为-1） 5. 增减性：以对称轴为界，a＞0时，x＜-b/(2a)，y随x增大而减小；x＞-b/(2a)，y随x增大而增大（如y＝2x ＋4x＋1，x＜-1时y随x增大而减小，x＞-1时y随x增大而增大） 即时小结：教师板书核心性质，强调“配方是连接一般式与顶点式的桥梁，对称轴和顶点坐标公式是解决一般式问题的关键工具”。 幻灯片4：典例解析，强化应用能力（15分钟） 例题1：已知二次函数y＝-x ＋2x＋3，回答下列问题： 1. 求该函数的对称轴、顶点坐标和最值；（对称轴x＝-2/(2×(-1))＝1，顶点(1，(4×(-1)×3－4)/(4×(-1)))＝(1,4)，a＜0，最大值为4） 2. 该函数图象由y＝-x 如何平移得到？（先配方为y＝-(x－1) ＋4，由y＝-x 向右平移1个单位，再向上平移4个单位） 3. 当x取何值时，y＞0？（结合图象或解方程-x ＋2x＋3＝0，得x＝-1 ... ...