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课件网) 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】 第26章 二次函数 26.2.2.5二次函数的最值 1. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. （1）y = 6x2 + 12x； （2）y = -4x2 + 8x -10. 2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出 两个函数的最大值、最小值分别是多少？ 配方，得：y = 6(x + 1)2 -6 开口向上，对称轴是直线 x = -1，顶点坐标是（-1, -6）. 配方，得：y = -4(x - 1)2 -6 开口向上，对称轴是直线 x = 1，顶点坐标是（1, -6）. y = 6x2 + 12x，有最小值，y = -6. y = -4x2 + 8x -10，有最大值，y = -6. 二次函数的最值 教学过程 幻灯片1：情境导入，感知最值（5分钟） 生活情境：展示两个实例图片———篮球运动员投篮的运动轨迹；②某商场销售商品的利润变化曲线。 师问1：篮球出手后，运动到最高点时高度最大；商场销售商品，利润随售价变化，会出现最高或最低利润。这些“最大”“最小”的量，在数学中我们称为“最值”。二次函数作为描述这类变化的重要模型，它的最值该如何求解呢？ 回顾旧知：二次函数的图象是抛物线，当a＞0时抛物线开口向上，有最低点；a＜0时开口向下，有最高点。这个最低点或最高点的纵坐标，就是二次函数的最值。今天我们就系统学习二次函数最值的求解方法。 设计意图：用生活中熟悉的情境唤醒学生对“最值”的直观认知，结合抛物线特征建立“顶点与最值”的关联，自然引出课题。 幻灯片2：探究顶点式，直接求最值（10分钟） 师问1：二次函数顶点式y＝a(x-h) ＋k（a≠0）的顶点坐标是什么？（学生齐答：(h,k)）这个顶点坐标与最值有什么关系呢？ 分类探究：结合抛物线开口方向，小组讨论顶点式的最值情况，完成下表： a的符号 开口方向 最值类型 最值大小 取得最值时的x值 a＞0 向上 最小值 k x＝h a＜0 向下 最大值 k x＝h 即时例题：说出下列函数的最值及取得最值时的x值：①y＝2(x-3) ＋5；②y＝-1/2(x＋2) －1。 生答点评：①a＝2＞0，x＝3时，y有最小值5；②a＝-1/2＜0，x＝-2时，y有最大值-1。强调顶点式中，k直接对应最值，h对应取得最值的x值，无需复杂计算。 幻灯片3：转化一般式，配方求最值（15分钟） 师问1：对于一般式y＝ax ＋bx＋c（a≠0），无法直接看出顶点坐标，该如何求最值呢？（引导学生回忆：将一般式转化为顶点式） 示范讲解：以y＝2x －8x＋3为例，完整演示配方过程及最值求解： 1. 提取二次项系数：y＝2(x －4x)＋3； 2. 配方：x －4x＝(x －4x＋4)－4＝(x－2) －4； 3. 整理顶点式：y＝2[(x－2) －4]＋3＝2(x－2) －5； 4. 求最值：a＝2＞0，x＝2时，y有最小值-5。 公式推导：由一般式配方结果y＝a(x＋b/(2a)) ＋(4ac－b )/(4a)，得出一般式最值结论： 当a＞0时，x＝-b/(2a)，y最小值＝(4ac－b )/(4a)；当a＜0时，x＝-b/(2a)，y最大值＝(4ac－b )/(4a)。 即时练习：用公式求y＝-x ＋6x－2的最值，学生独立完成后，教师核对计算过程，强调符号易错点。 幻灯片4：聚焦实际问题，限定范围求最值（15分钟） 师问1：在实际问题中，自变量x往往有取值范围（如售价不能为负数、时间不能为负），此时二次函数的最值是否还一定是顶点的纵坐标呢？ 例题1：某农户种植草莓，已知草莓的产量y（千克）与种植密度x（株/平方米）的函数关系为y＝-2x ＋20x＋50，x的取值范围是3≤x≤7，求草莓的最大产量。 解题步骤： 1. 求顶点横坐标：x＝-b/(2a)＝-20/(2×(-2))＝5，在3≤x≤7范围内； 2. 计算顶点纵坐标：y＝-2×5 ＋20×5＋50＝100； 3. 结论：x＝5时，最大产量为100千克。 例题2：若例题1中x的取值范围改为1≤x≤4，求最大产量。 解题关键：顶点横坐标x＝5不在 ... ...
