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课件网) 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】 第26章 二次函数 26.3.1建立二次函数模型解决实际问题 问题1 某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水. 柱子在水面以上部分的高度为1.25 m. 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示. （1） 建立二次函数模型解决实际问题 教学过程 幻灯片1：情境激趣，引入课题（5分钟） 生活实例展示：播放两段短视频———农民伯伯调整蔬菜种植密度，使产量最大化；②工程师设计抛物线形拱桥，确保车辆通行安全。 师问1：这些场景中，产量随种植密度的变化、拱桥高度随水平距离的变化，都呈现出怎样的规律？（学生结合已有知识，猜测是二次函数关系） 师问2：当实际问题中的变量关系符合二次函数特征时，我们如何通过建立函数模型来解决“最大产量”“最优设计”这类问题呢？今天我们就来学习建立二次函数模型解决实际问题的方法。 设计意图：用贴近生活的实例激发学生兴趣，让学生感知二次函数模型的实用价值，自然引出本节课核心任务。 幻灯片2：梳理流程，明确建模步骤（10分钟） 回顾旧知：二次函数的顶点式y＝a(x-h) ＋k（a≠0），当a＞0时，顶点为最低点，y有最小值；当a＜0时，顶点为最高点，y有最大值，这是解决实际问题中“最值”问题的关键。 建模核心流程：师生共同梳理，板书建立二次函数模型的一般步骤： 1. 审：审题，明确问题中的已知量、未知量，找出变量之间的关系； 2. 设：设自变量，用字母表示关键变量（通常设问题中“变化的量”为x，“所求的量”为y）； 3. 列：根据题意，列出变量之间的函数关系式（注意自变量的取值范围）； 4. 解：将函数关系式化为顶点式或利用公式，结合自变量范围求出最值或所需结果； 5. 答：检验结果的合理性，写出符合实际意义的答案。 强调重点：“列关系式”是核心，“定范围”是关键，“验结果”是保障，三者缺一不可。 幻灯片3：探究一：利润最值问题（15分钟） 例题1：某网店销售一种成本为40元/件的T恤，当售价为50元/件时，每月可售出500件。经市场调查发现，售价每上涨1元，月销量就减少10件。设售价为x元/件（x≥50），月利润为y元，如何定价才能使月利润最大？最大月利润是多少？ 分步引导： 1. 审题分析：利润＝（售价－成本）×销量，售价x是自变量，利润y是因变量，销量随售价变化而变化； 2. 设变量：设售价为x元/件，月利润为y元； 3. 列关系式：销量＝500－10(x－50)＝1000－10x，利润y＝(x－40)(1000－10x)＝-10x ＋1400x－40000；自变量范围：x≥50，且销量1000－10x≥0→x≤100，故50≤x≤100； 4. 求最值：将关系式化为顶点式y＝-10(x－70) ＋9000，a＝-10＜0，顶点(70,9000)在自变量范围内； 5. 写答案：售价定为70元/件时，月利润最大，最大月利润为9000元。 易错提醒：销量的表达式容易漏算“基础销量与上涨幅度的关系”，需明确“售价每涨1元，销量减10件”，故上涨(x－50)元时，销量减10(x－50)件。 即时练习：若售价每下降1元，月销量增加10件，其他条件不变，求最大利润，学生独立完成后教师点评。 幻灯片4：探究二：面积最值问题（15分钟） 例题2：某农户有一块长20米、宽10米的矩形空地，计划在空地中修两条宽度相同的互相垂直的小路，剩余部分种植蔬菜，使种植面积为168平方米。求小路的宽度是多少米？若不考虑种植面积限制，小路宽度为多少时，种植面积最小？ 分步引导： 1. 审题分析：矩形面积＝长×宽，小路宽度是自变量，种植面积是因变量，可通过“平移法”简化剩余面积计算； 2. 设变量：设小路宽度为x米，种植面积为y平方米； 3. 列关系式 ... ...
