27.3.1 弧长和扇形面积-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

(课件网) 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】 第27章　圆 27.3.1 弧长和扇形面积 问题1：圆的周长如何计算？圆的面积如何计算？ 问题2：圆周长所对的圆心角是多少度？ C=2πr S=πr2 360° 27.2.3.2 切线长定理及三角形的内切圆 教学过程 幻灯片1：温故引新，提出问题（5分钟） 旧知回顾：上节课我们学习了切线的判定与性质，谁能说说：①如何判定一条直线是圆的切线？②圆的切线有什么核心性质？（学生回答：判定可通过d＝r或过半径外端且垂直半径；性质是切线垂直于过切点的半径） 情境提问：展示从圆外一点P引圆的两条切线PA、PB的图形，提问：“从圆外一点能引圆的几条切线？这两条切线的长度之间有什么关系？”（引导学生观察猜想：两条切线长度相等） 引出课题：从圆外一点引圆的切线，这点与切点之间的线段长度叫做切线长。今天我们就来探究切线长的性质（切线长定理），以及与三角形内切圆相关的知识。 设计意图：以旧知激活认知，通过图形观察提出猜想，自然引出“切线长”概念和本节课探究核心。 幻灯片2：实验探究，推导切线长定理（15分钟） 动手操作：请同学们在练习本上画一个半径为2cm的⊙O，在圆外取一点P，过P作⊙O的两条切线PA、PB，A、B为切点，连接OA、OB、OP，完成以下任务： 1. 用刻度尺测量PA、PB的长度，记录数据； 2. 用量角器测量∠APO与∠BPO的度数，观察关系。 猜想结论：从测量结果看，PA＝PB，∠APO＝∠BPO，即OP平分∠APB。 定理证明： 已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。 求证：PA＝PB，OP平分∠APB。 证明： 1. ∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB（切线性质），即∠OAP＝∠OBP＝90°； 2. 在Rt△OAP和Rt△OBP中，OA＝OB（圆的半径），OP＝OP（公共边）； 3. ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL定理）； 4. ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO（全等三角形对应边相等、对应角相等）。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 符号表示：若PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，则PA＝PB，OP平分∠APB。 幻灯片3：应用切线长定理，解决基础问题（10分钟） 例题1：如图，从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，A、B为切点，已知∠APB＝60°，OP＝10cm，求切线长PA及⊙O的半径OA。 解题步骤： 1. 由切线长定理，OP平分∠APB，∴∠APO＝∠APB/2＝30°； 2. ∵OA⊥PA（切线性质），∴Rt△OAP中，∠OAP＝90°； 3. ∠APO＝30°，OP＝10cm，∴OA＝OP/2＝5cm（30°角所对直角边是斜边一半）； 4. 由勾股定理，PA＝√(OP －OA )＝√(10 －5 )＝5√3 cm。 方法总结：涉及切线长问题，常连接“圆心—切点”“圆心—圆外点”，构造直角三角形，利用切线长定理和勾股定理求解，核心是“见切线连半径，见切线长连圆心与外点”。 即时练习：已知PA、PB是⊙O的切线，PA＝8cm，求PB的长度及∠OAB与∠APB的关系（提示：PA＝PB＝8cm；OA＝OB，PA＝PB，OP垂直平分AB，故∠OAB＋∠APB/2＝90°）。 幻灯片4：探究三角形的内切圆（15分钟） 问题探究：能否作一个圆，使它与三角形的三条边都相切？如果能，这个圆的圆心和半径如何确定？ 动手操作：画△ABC，作∠A和∠B的角平分线，交于点I，过I作ID⊥AB于D，以I为圆心、ID为半径画圆，观察圆与AC、BC的位置关系（相切）。 核心概念： 1. 三角形的内切圆：与三角形的三条边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形； 2. 内心性质：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等（距离即为内切圆半径）。 图形标注：在△ABC中画出内切圆⊙I，标注切点D（AB上）、E（AC ... ...