5.5 确定圆的条件 同步训练（含解析）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

5.5 确定圆的条件 知识梳理 核心概念： 确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆（圆心是任意两点垂直平分线的交点，半径是圆心到任一点的距离）。 三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。 圆内接四边形：四个顶点都在同一个圆上的四边形，具有对角互补的性质。 关键性质： 外心位置：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部。 圆内接四边形性质：对角之和为180°；一个外角等于它的内对角。 垂径定理推论：弦的垂直平分线必过圆心（用于确定圆心位置）。 常用关联知识： 勾股定理：计算圆的半径、线段长度。 垂直平分线的作法：尺规作图确定圆心。 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等（用于角度推导）。 解题思路： 确定圆心：作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心。 求半径：利用勾股定理，结合已知线段长度计算。 角度计算：利用圆内接四边形对角互补、圆周角定理推导角度。 四点共圆证明：证明四个点到同一点（圆心）的距离相等，或证明对角互补。 同步训练 一、单选题 1．对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 2．四边形内接于，，则（ ） A． B． C． D． 3．如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点、、，其中，点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 5．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在矩形中，，，为矩形的边上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，四边形是的内接四边形，若 则的度数为 ． 8．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 9．如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是 ． 10．如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为 ． 三、解答题 11．如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． 12．如图，已知． (1)请作的外接圆，连接并延长交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的半径． 13．如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上． 14．如图，四边形内接于，平分． (1)在图中画出圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，连接，若，求的度数． 15．如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F． (1)若，求证：； (2)求四边形的面积； 参考答案 1．D 【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案． 【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，利用圆内接四边形对角互补的性质，根据角度比例关系求解． 【详解】∵四边形内接 ... ...