5.4圆周角与圆心角的关系同步训练（含解析）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

5.4 圆周角与圆心角的关系 知识梳理 核心定理： 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，且等于它所对圆心角的一半。 推论1：直径所对的圆周角是直角（）；的圆周角所对的弦是直径。 推论2：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等、所对的弦相等。 关键性质： 圆心角与弧的关系：相等的圆心角所对的弧相等，反之亦然。 圆周角的传递性：若两弧相等，则它们所对的圆周角相等；反之，若两圆周角相等，则它们所对的弧相等。 圆内接多边形关联：圆内接四边形中，同弧所对的圆周角可用于角度转化。 常用关联知识： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧（常与圆周角定理结合求角度或线段）。 勾股定理：在直径所对的直角三角形中，用于计算弦长、半径等。 等腰三角形性质：圆心到弦的连线平分弦，可构造等腰三角形辅助计算。 解题思路： 角度计算：先确定待求角所对的弧，再找到该弧所对的圆心角或已知圆周角，利用定理换算。 线段计算：遇直径优先构造直角三角形，结合圆周角定理和勾股定理求解。 证明弧/弦相等：转化为证明它们所对的圆周角或圆心角相等。 同步训练 一、单选题 1．如图，是的直径，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，圆的两条弦，相交于点E，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．如图， 点A、B、C、D在⊙O上， OD⊥AB于点E． 若∠ACD＝22.5°， AB＝4， 则⊙O半径长为 （ ） A． B．6 C． D．4 4．如图，四边形内接于，，，若，，则的长度为（ ） A．3 B． C． D． 5．如图，是三角形的高线，，，，则三角形的外接圆的直径的长为（ ） A．20 B．18 C．16 D．14 6．如图，是半圆的直径，，等于，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，，是的弦，连接并延长交于点D，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，OA是的半径，弦，D是上一点，且点在优弧BC上．若，则的度数为 ． 9．如图，在中，弦和相交于点P，若，的度数为，则的度数为 ． 10．如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为 ． 11．如图，在中，，是高线，延长交的外接圆于点E，连接．若，圆的面积为，则的长是 ． 三、解答题 12．如图，是的直径，垂直于弦于点D，的延长线交于点E．若，，求和的长． 13．如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的直径． 14．如图，在锐角三角形中，，以为直径作，分别交，于点，． (1)求证：． (2)若，，求线段的长． 15．如图，点A，B，C在上，于点G，交于点E，连接，于点D，与相交于点． (1)若，，求的半径； (2)求证：． 参考答案 1．A 【分析】本题考查了圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理并能熟练运用求解． 利用圆周角定理求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了等弧所对的圆周角相等，三角形的外角定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．由等弧所对的圆周角相等可知，再利用三角形外角定理求． 【详解】解：， ． ． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了垂径定理与圆周角定理的综合应用，解题的关键是利用垂径定理得到线段关系，结合圆周角定理求出圆心角，进而解直角三角形求半径． 1． 由垂径定理得； 2． 由圆周角定理得圆心角； 3． 在等腰直角三角形中，利用边长关系求出半径． 【详解】解：连接OA． 因为，根据垂径定理，， 由圆周角定理， 已知，故． 在中，，， 是等腰直角三角形， 因此， 即圆的半径为． 故选C． 4．C 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的相关性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键．先利用圆周角定理及平行线的性质证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ... ...