《圆与三角形》精选压轴题（一）—浙江省九（上）数学期末复习

《圆与三角形》精选压轴题（一）—浙江省九（上）数学期末复习 一、单选题 1．（2025九上·金东期末）如图，是的半径，弦，是上一点，交于点，，，则的长是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA 【解析】【解答】解：连结， 是的半径，弦， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 故答案为：B． 【分析】连结，由题意，根据垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧 ”可得，则，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解. 2．（2024九上·杭州期末）公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H是上的八等分点，任意取其中的三个点组成一个三角形，则组成钝角三角形的个数是（　　） A．12个 B．18个 C．24个 D．32个 【答案】C 【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形 【解析】【解答】解：连接， 根据题意可得经过点，即为直径， ∴，，为， 根据点A，B，C，D，E，F，G，H是上的八等分点， ∴弧所对圆心角为，所对圆周角为， ∴，，，，是钝角， 共有24个钝角，故有24个钝角三角形． 故答案为：C． 【分析】根据圆及正多边形的对称性可得AE、BF、CG、DH都是圆的直径，根据直径所对圆周角为，得出等角的都是90°，根据正多边形性质及等弧所对的圆周角相等可得弧AB、弧BC、弧CD、弧DE、弧EF、弧FG、弧GH、弧HA所对的圆心角为45°，所对圆周角都是22.5°，从而可判断出∠ABC等角都是钝角，从而根据钝角三角形的定义得出答案. 二、填空题 3．（2024九上·宁波期末）如图，四边形内接于，，，，则的半径长为　 　． 【答案】 【知识点】三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论 【解析】【解答】解：如图：连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接， ∵， ∴，， ∴为的直径，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接， 利用圆周角定理的推论可证得BD是圆的直径及∠DCB=90°，可推出为等腰直角三角形；再利用SAS可证得△ADC≌△EBC，利用全等三角形的性质可证得AC=CE，∠ACD=∠ECB，可推出∠ACE的度数，可证得为等腰直角三角形，可求出AE、AC的长，同时可证得∠AFC=60°，然后利用解直角三角形求出CF的长，即可求出圆的半径. 4．（2025九上·江北期末）如图， 经过 Rt 的直角顶点 ，交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，且满足 ，则 的半径为　 　． 【答案】 【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：如图， 过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P， 连接OC， ∵DE=FC=CG， ∴OM=ON=OP， MD=ME=NF =NC = PC = PG， ∴小⊙O是Rt△ABC的内切圆， 四边形CPON是正方形， ∴AP =AM， BM=BN， CP=CN， △CNO是等腰直角三角形， ∴AG=AD， BF = BE， 设DE=FC=CG=x(x>0)， 在 ‘中，由勾股定理得： 即 解得： (不合题意，舍去)， 是等腰直角三角形， ∴⊙O的半径为 故答案为： 【分析】过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P，连接OC，由弦心距和垂径定理得出OM =ON =OP，MD=ME=NF=NC=PC=PG， 推出小⊙O是Rt△ABC的内切圆， 四边形CPON是正方形， 得AP=AM， BM=BN， CP=CN，△CNO是等腰直角三角形， 则AG = AD，BF=BE， 设DE=FC=CG=x(x>0)， 求出 然后在Rt△ABC中，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题. 5．（2025 ... ...