14.1平方根 讲义（原卷版+解析版） 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

14.1平方根 （30分提至70分使用） 1. 平方根的定义 如果一个数( x )的平方等于( a )，即，那么这个数( x )叫做( a )的平方根（也叫做二次方根）。 2. 平方根的表示方法 一个正数( a )的平方根记为，其中表示( a )的正平方根（也叫算术平方根），表示( a )的负平方根。 3. 平方根的性质 正数的平方根：正数有两个平方根，它们互为相反数。 零的平方根：0的平方根是0，即。 负数的平方根：在实数范围内，负数没有平方根。 4. 算术平方根 定义：正数( a )的正的平方根叫做( a )的算术平方根，0的算术平方根是0。 性质：算术平方根具有非负性，即（）。 5. 开平方运算 求一个数( a )的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。 6. 平方根的计算 若（），则。 例如：因为和，所以9的平方根是，即。 求平方根 1．下面的说法：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根与平方根的概念，解题的关键是明确算术平方根的非负性及负数无实数平方根． 根据算术平方根、平方根的定义，逐一判断4个说法的正确性，统计正确的个数． 【详解】解：（1）计算，故，错误； （2）表示算术平方根，结果为2，而非，错误； （3）因为负数无实数平方根，无意义，错误； （4）因为，所以，进而，正确． 综上，只有1个说法正确． 故选：D． 2．若，则下列说法正确的是（ ） A．是5的算术平方根 B．是5的平方根 C．5是的算术平方根 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根及算术平方根，根据平方根的定义及算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】∵， ∴是5的平方根（平方根定义）． 选项A：算术平方根特指非负平方根，但可能为，故A错误． 选项B：正确，符合平方根定义． 选项C：若5是的算术平方根，则，即，与矛盾，故C错误． 选项D：仅表示正平方根，但可能为负，故D错误． 故选：B． 3．下列式子中表示“9的平方根是”的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是根据平方根的定义与表示方法，逐一分析每个选项的式子所表达的含义，匹配9的平方根是的正确表示．本题考查平方根的表示方法，涉及的知识点是平方根与算术平方根的定义及符号表示．解题中用到的方法是概念辨析法，通过区分平方根、算术平方根、立方根的符号与含义来判断．解题关键是明确表示算术平方根， 表示平方根．易错点是混淆平方根与算术平方根的符号表示，或误将立方根与平方根混淆． 【详解】选项A：表示的是的算术平方根是，不是平方根，不符合题意； 选项B：，符合的平方根是的表示方法； 选项C：是的立方根，与平方根无关，不符合题意； 选项D：表示的是的算术平方根的相反数是，不符合题意． 故选B． 4．若，则的平方根为（ ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 5． 的平方根是（ ） A． B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键．根据平方根、算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：C． 已知平方根求这个数 6．若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　） A．9 B．8 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，进行求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 则平 ... ...