第5课 一元二次方程根与系数的关系 期末总复习 【知识点梳理+题型概括+易错题集锦】【沪教版2024】 知识点 相关题型 一元二次方程 根的判别式 直接求判别式的值 不解方程判别根的情况 已知一元二次方程根的情况求参数 一元二次方程 根与系数的关系 不解方程求两根的和与积 不解方程求两根的对称式 已知方程的根求参数 二次三项式在实数范围内的因式分解 以两个数为未知数的方程是“联根方程”，求这两个数的对称式 1.概念 根据b —4ac的符号可以判断一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根的情况，我们把b —4ac叫作该一元二次方程的判别式，通常用符号“△”(读作“/'delt /”)来表示，记作△=b -4ac. 2.一元二次方程根的情况 利用判别式，可以不解方程就能判断一个一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等. 对一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0): △=b -4ac>0时方程有两个不相等的实数根； △=b -4ac=0时方程有两个相等的实数根； △=b -4ac<0时方程没有实数根. 4.易错点：只考虑根的情况，忽略二次项系数的条件（a） 【题型1：直接求根的判别式】 【例1】25-26八年级上·闵行·阶段练习）一元二次方程方程，根的判别式的值为（ ） A．16 B． C．17 D． 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）在一元二次方程中， ， ， ． 【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【题型2：不解方程判别根的情况】 【例2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，有两个实数根的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）判断一元二次方程的根的情况 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）请证明：无论取何值时，关于的方程有实数根，并解出此时方程的根． 【变式3】（24-25八年级下·山东东营·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根． (2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 【题型3：根据根的情况求参数】 【例3】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m能够取到的最小整数是 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海·期中）①若方程两根为和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无实数解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 以上命题正确的序号是： ． 【变式4】（25-26八年级上·上海·期中）如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况． 1.一元二次方程的根与系数关系的定理： 一元二次方程的根与系数关系的定理又叫作韦达定理:如果一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x 、,那么，. 2.韦达定理的应用 ①求两根的对称式 ; ,… ②已知方程的根求参数 如：.已知方程的一个根是，求它的另一个根和的值.根据=，即可求出另一根，再由两根之积求出m. ③二次三项式在实数范围内的因式分解 如果一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x 、，那么ax +bx+c= 易错点：只顾着计算两根之和、积，却忽略一元二次方程存在的条件（a）以及有两根的条件() ④以两个数为未知数的方程是联根方程，求这两个数的对称式 两个一元二次方程至少有一个公共根，这两个方程叫联根方程。 如：两个不相等的实数m，n满足m2-6m=4，n2-6n=4，则mn的值为多少？ 由题意可知m,n是同一个方程-4=0的两个不等的根，所以mn=-4. 【题型1：不解方程直接求两根之和、积】 【例1】（25-26 ... ...
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