河南省信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三上学期12月测试（一）数学试题（含答案）

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三上期12月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B D A A B A AD AD BC AC 12． 13． 14． 15．(1) (2) 【分析】（1）借助降幂公式及正弦定理与辅助角公式计算即可得解. （2）借助等面积法及基本不等式即可得解. 【详解】（1）， 由正弦定理可知：， 又，化简得， 即， 所以，， 即，因为，所以，从而； （2）由题意可得：， 且，即， 化简得， 而，解得，等号成立当且仅当， 的面积，等号成立当且仅当， 综上所述，的面积的最小值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆定义求出，求得曲线的方程； （2）设两直线的方程为与，求出与曲线在第一象限内的交点坐标，表示其面积并利用基本不等式求解. 【详解】（1）由题意知， 所以的轨迹为椭圆的一部分，且，所以. 故曲线的方程为 （2）设两直线的方程为与， 记与曲线在第一象限内的交点为， 由，可得， 结合图形的对称性可知：四交点对应的四边形为矩形，且其面积， 因为，所以（当且仅当时取等号）， 故四边形面积的最大值为. 17．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）若是中点，连接，作，根据题设可得两两垂直，构建空间直角坐标系，令，并确定点坐标，求面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示即可证结论. （2）根据已知体积，结合棱锥的体积公式求出，进而求面ABED的法向量、直线CE的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值. 【详解】（1）若是中点，连接，作，由知：， 因为面ABC，则面ABC，又面ABC， 所以，， 综上，两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系， 令，，，则，，， 所以，， 若是面的一个法向量，即，令，则， 又是面的一个法向量，则， 所以面面. （2）由面ABC，面ABED，则面ABED面ABC，故到面ABED的距离，即为△中上的高， 因为，，则，故， 所以上的高. 又面ABC，则，而，有，， 所以为直角梯形，令，则， 综上，，故. 由（1）知：，，，， 所以，， 若是面ABED的一个法向量，即，令，则， 而，则， 所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为. 18．（1）上单调递增；上单调递减；（2）. 【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性； （2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围. 【详解】（1）当时，, 令得,当时，,当时，, ∴函数在上单调递增；上单调递减； （2）[方法一]【最优解】：分离参数 ,设函数, 则,令，得, 在内,单调递增； 在上,单调递减； , 又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是, 所以的取值范围是. [方法二]：构造差函数 由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解． 构造函数，求导数得． 当时，在区间内单调递增，所以，在内最多只有一个零点，不符合题意； 当时，，令得，当时，；当时，；所以，函数的递增区间为，递减区间为． 由于， 当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即． 构造函数，则，所以的递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且． 所以，实数a的取值范围为． [方法三]分离法：一曲一直 曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同的解． 因为，所以两边取对数得，即，问题等价为与有且仅有两个交点． ①当时，与只有一个交点，不符合题意． ②当时，取上一点在点的切线方程为，即． 当与为同一直线时有得 直线 ... ...