中小学教育资源及组卷应用平台 3.2.1 单调性与最大（小）值 知识点1 对单调性定义的理解 1．（23-24高一下·江西·月考）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【解析】由得不到“函数在区间上单调递增”， 如，， 显然满足，但是函数在上递增，在上递减， 故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件； 而由“函数在区间上单调递增”可得. 则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.故选：D. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（ ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 【答案】B 【解析】因为，所以和异号， 所以当时，，当时，， 故在上是严格减函数，故B正确.故选：B 3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（ ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，令， 满足在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 但是函数在上不单调，故①错误； 对于②：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 即任意的都有，都有， 所以， 设任意的且，若，则， 若，则， 若，，则， 所以函数在上是严格增函数，故②正确； 对于③：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 则在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 结合②可知，函数在上是严格增函数，故③正确； 对于④：令，满足在区间上是严格增函数，且是奇函数， 但是函数在上不单调，故④错误.故选：B 4．（24-25高一上·山西太原·月考）（多选）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为且，下列选项可判断为单调函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A选项，，有， 由函数单调性定义得在上单调递减，A正确； B选项，， 因为，故，故， 由函数单调性定义得在上单调递增，B正确； C选项，，故， 由函数单调性定义得在上单调递增，C正确； D选项，由题意得或，不是单调函数，D错误.故选：ABC. 知识点2 定义法讨论函数的单调性 1．（24-25高一上·安徽铜陵·月考）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明过程见解析；(2)最小值为，最大值为. 【解析】（1），且， 则 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 2．（24-25高一上·上海·月考）已知函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明． 【答案】(1)；(2)函数在上为减函数.证明见解析. 【解析】（1）根据题意函数的图象过点和， 则，，解得，， 则. （2）函数在上单调递减， 证明：任取，，设， 则， 又因为，则，，，， 则；所以, 故函数在上为减函数. 3．（24-25高一上·山西·期中）已知函数满足 (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为恒成立，所以的定义域为， ， 令，，则， 故的解析式为，. （2）证明：任取，令， 则， 因为，所以，， 从而，即， 故在上单调递减. 4．（24-25高一上·河南驻马店·期中）已知函数. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义法进行证明； (3)证明：. 【答案】(1)3； ... ...
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