28.4垂径定理（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版数学九年级上册

28.4垂径定理 （30分提至70分使用） 垂径定理 定理内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 基本图形与常用辅助线 基本图形：由垂径定理及其推论构成的图形中，常包含半径、弦的一半、圆心到弦的距离这三条线段，它们构成直角三角形。 常用辅助线：遇弦长问题，常过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理（，其中r为半径，d为圆心到弦的距离，l为弦长）解决问题。 核心应用 计算弦长：已知圆的半径r和圆心到弦的距离d，可求弦长。 计算半径：已知弦长l和圆心到弦的距离d，可求半径。 证明线段相等或弧相等：利用垂径定理及其推论证明平分弦、平分弧等结论。 利用垂径定理求平行弦问题 1．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（ ） A． B． C． D．或 2．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（ ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 4．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ ) A．弧AB =弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．无法确定 5．下列说法：①过三点可以作圆：②相等的圆心角所对的弧相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 利用垂径定理求同心圆问题 6．如图，点A、C、B、D分别是上四点， ，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．如图，已知是的直径，于点，则的度数是（ ） A． B． C． D． 8．如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（ ） A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC 9．的半径为2，是它的一条弦，，则弦所对的圆周角为（ ） A． B． C．或 D． 10．如图，线段是的直径，弦，，则等于（　　） A． B． C． D． 垂径定理的推论 11．如图，的直径平分弦．若，则为（ ） A． B． C． D． 12．下列语句中，正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②等弧对等弦；③平分弦的直径垂直于弦；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．下列格点图中都给出了圆，只用直尺就能确定圆心的是（　　） A． B． C． D． 14．下列命题为真命题的是（ ） A．三点确定一个圆 B．圆心角相等，所对的弧相等 C．圆周角是直角时，所对弦是直径 D．平分弦的直径垂直弦 15．如图，的直径，是的弦，是弧的中点，与相交于点．若，则的长是（ ） A． B． C． D． 垂径定理的实际应用 16．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为5米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 17．某型号的圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．设其圆心为点，若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为．求这个圆形截面的半径． 18．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)请仅用无刻度直尺按要求作图，画出过，，三点的圆的圆心，保留作图痕迹，不写作法． (2)过，，三点的圆的圆心坐标为_____． 19．某居民区一处圆 ... ...