专题十八 直角三角形、等腰三角形、等边三角形、中垂线、角平分线 专题讲义 （学生版+解析版）2026中考数学一轮复习复习

专题十八 直角三角形、等腰三角形、等边三角形、中垂线、角平分线专题讲义 【题型一】直角三角形全等的判定 【例1】（2025 天元区校级一模）如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．75° 【分析】本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1的值． 【解答】解：∵∠B＝∠D＝90° 在Rt△ABC和Rt△ADC中 ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL） ∴∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1＝50°． 故选：B． 【变式1】（2025 万山区模拟）如图，点P是∠BAC内一点，且点P到AB、AC的距离相等．则△PEA≌△PFA的理由是（　　） A．HL B．AAS C．SSS D．ASA 【分析】根据题意找出三角形全等的条件，然后根据条件确定全等的依据，解答即可． 【解答】解：∵点P到AB、AC的距离相等， ∴PE＝PF， 又∵PA是公共边， ∴△PEA≌△PFA用的是PA＝PA，PE＝PF， 符合斜边直角边定理，即HL． 故选：A． 【变式2】（2024 西安区校级模拟）如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，请添加一个条件 DE＝AC（答案不唯一）　 ，使Rt△ABC≌Rt△DFE． 【分析】根据直角三角形的判定方法解答即可． 【解答】解：添加DE＝AC， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即EF＝CB， 在Rt△ABC与Rt△DFE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）． 故答案为：DE＝AC（答案不唯一）． 【变式3】（2025 泰兴市一模）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用如图所示的4个全等直角三角形拼成正方形ABCD，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．如图，若“弦图”中小正方形表示为EFGH，I是AD中点，延长IH交FG于点J，且HI＝HJ，则tan∠ADE＝　　 ． 【分析】过点I作IM⊥ED垂足为点M，并延长交BG的延长线于点N，设AE＝b，ED＝a，则EH＝a﹣b，根据点I是AD的中点，且HI＝HJ，利用平行线分线段成比例，结合相似三角形的判定和性质，得到IM＝MN，，进而推出，再根据正切的定义可求tan∠ADE的值． 【解答】解：用4个全等直角三角形拼成正方形ABCD，如图，过点I作IM⊥ED垂足为点M，并延长交BG的延长线于点N， ∴∠IMD＝90°＝∠AED， ∴IM∥AE， ∴， ∵I是AD中点， ∴， ∴EM＝MD， ∴， ∵“弦图”中小正方形表示为EFGH， ∴EH∥FG，EF∥HG， ∴，IM∥HJ， ∵HI＝HJ， ∴IM＝MN， ∵IM∥HJ， ∴△HGJ∽△ING， ∴， ∴， 设AE＝b，ED＝a，则GH＝EH＝a﹣b，， ∴， 整理得：， 在Rt△ADE中，． 故答案为：． 【题型二】角平分线的性质 【例1】（2024 青海）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】过P作PE⊥AO于E，由角平分线的性质推出PE＝PD＝2，即可得到点P到OA的距离是2． 【解答】解：过P作PE⊥AO于E， ∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB， ∴PE＝PD＝2， ∴点P到OA的距离是2． 故选：C． 【变式1】（2024 绵阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【分析】过D作DF⊥AB于F，根据AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，得DE＝DF，由△ABD的面积为5，AB＝5，可得DF＝2，故DE＝2． 【解答】解：过D作DF⊥AB于F，如图： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE＝DF， ∵△ABD的面积为5， ∴AB DF＝5， ∵AB＝5， ∴DF＝2， ∴DE＝2； 故选：B． 【变式2】（2025 长安区校级四模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（　　） A．10 B．12 C．9 D．6 【分析】过D作DF⊥AB于F，由角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式即可求出△DBE的面积． 【解答】解：过D作DF⊥AB于F， ∵∠C＝90°， ∴DC ... ...