(课件网) 2025-2026学年北师大版数学九年级下册 第三章 圆 3.4.2圆周角和直径的关系及圆内接四边形 复习导入 求图中角x的度数 · A O B 70° x x =_____ C · O A B C D 120° x x =_____ 35° 120° 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 复习导入 求图中角x的度数 第1页：复习导入———衔接旧知引新题（5分钟） 1. 复习回顾：提问“上节课我们学习了圆周角定理，谁能复述一下核心内容？”（引导学生回忆：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）；补充提问“基于定理我们得出的重要推论有哪些？”（回顾：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆所对的圆周角是直角）。 2. 情境设问：展示圆形零件图纸，标注直径AB和圆上一点C，连接AC、BC。提问“图纸中∠ACB是设计的关键角，结合之前的推论，它的度数是多少？这个角度特征对零件设计有什么意义？”；再展示一个内接于圆的四边形ABCD，提问“这个四边形的四个顶点都在圆上，这样的四边形有什么特殊性质呢？” 3. 引出课题：明确本节课主题———3.4.2 圆周角和直径的关系及圆内接四边形，重点探究直径与圆周角的特殊关联、圆内接四边形的定义及性质。 第2页：深入探究———圆周角和直径的关系（8分钟） 1. 定理梳理：结合复习推论，提炼核心结论———圆周角和直径的关系定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。 2. 逻辑证明：引导学生完成严谨证明：① 正向证明：已知AB是⊙O的直径，C是圆上任意一点（不与A、B重合），求证∠ACB=90°。证明：∵AB是直径，∴弧AB是半圆，对应的圆心角∠AOB=180°，由圆周角定理得∠ACB=1/2∠AOB=90°；② 逆向证明：已知⊙O中，∠ACB=90°，C在圆上，求证AB是⊙O的直径。证明：设∠ACB所对的弧为弧AB，对应的圆心角为∠AOB，由圆周角定理得∠AOB=2∠ACB=180°，∴A、O、B三点共线，即AB是⊙O的直径。 3. 特征强调：总结直径与圆周角的双向关———直径是产生90°圆周角的“前提”，90°圆周角是判定直径的“依据”，二者相互对应，缺一不可。 第3页：新知探究———圆内接四边形的定义与性质（15分钟） 1. 定义给出：结合导入环节的四边形，给出圆内接四边形的定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 2. 性质探究：① 动手测量：请学生在练习本上画一个⊙O和其内接四边形ABCD，分别测量∠A、∠B、∠C、∠D的度数，记录数据（如∠A=100°、∠B=80°、∠C=80°、∠D=100°），小组内交流数据，观察角度之间的关系；② 猜想归纳：引导学生基于测量数据猜想：圆内接四边形的对角互补；③ 逻辑证明：连接OA、OC，∵∠A和∠C分别是弧BCD和弧BAD所对的 复习导入 求图中角x的度数 · A O B 60° x x =_____ C · O A B C D 20° x x =_____ D 60° E F 30° 50° 复习导入 求图中角x的度数 推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 探究新知 如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？ · O A B C 解：直径BC所对的圆周角∠BAC＝90°. 证明：∵BC为直径， ∴∠BOC＝180°， ∴ 探究新知 如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？ · O A B C 解：弦BC是直径. 连接OC、OB， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BOC ＝ 2∠BAC ＝ 180°. ∴B、O、C三点在同一直线上. ∴BC是⊙O的一条直径. 注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线. 推论 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. ∵BC为直径， ∴∠BAC = 90°. 几何语句： ∵∠BAC = 90°， ∴ BC为直径 . 几何语句： 议一议 （1）如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为 ... ...
